Теоретическая механика (стр. 6 )

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия будет отклонена от нормали к поверхности на угол jо.

Глава 6. Произвольная пространственная система сил

§ 20. Момент силы относительно центра как вектор

Уточним и расширим ряд введенных ранее понятий. Начнем с понятия о моменте силы.

1. Изображение момента вектором. Момент силы F относительно центра О (рис. 29) как характеристика ее вращательного эффекта определяется следующими тремя элементами: 1) модулем момента, равным произведению модуля силы на плечо, то есть Fh; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы F и центр О; 3) направлением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной плоскости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скалярную алгебраическую величину, равную ± Fh, где знак указывает направление поворота.

Рис. 29

В общем случае момент то(F) силы F относительно центра О (рис. 29) будем изображать приложенным в центре О вектором Мо, равным по модулю (в выбранном масштабе) произведению модуля силы F на плечо h и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через центр О и силу F. Направлять вектор Мо будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор Мо будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости.

2. Определение момента силы с помощью векторного произведения. Рассмотрим векторное произведение ОA ´ F векторов ОА и F (рис. 29). По определению,

| OA ´ F | = 2 пл. D OAB = Mо,

так как модуль вектора Мо тоже равен 2 пл. D ОАВ. Направлен вектор (ОA ´ F) перпендикулярно к плоскости ОАВ в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение ОА с F (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, то есть так же, как вектор Мо. Следовательно, векторы (ОА Х F) и Мо совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, то есть оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

Мо = OA ´ F или Мо = r ´ F, (34)

где вектор r =ОA называется радиусом-вектором точки A относительно центра О.

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора r=ОА, соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу.

§ 21. Момент силы относительно оси

Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси. Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 30). Пусть на это тело действует сила F, приложенная в точке А. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу F на составляющие: Fz параллельную оси z, и Fxy, лежащую в плоскости ху (Fxy является одновременно проекцией силы F па плоскость ху). Сила Fz, направленная параллельно оси z, очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z). Следовательно, весь вращательный эффект, создаваемый силой F, будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей Fxy. Отсюда заключаем, что

mz(F) = mz(Fxy),

где символ mz(F) обозначает момент силы F относительно оси z.

Рис. 30

Для силы же Fxy, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z, вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы Fxy относительно точки О, в которой ось z пересекается с плоскостью ху. Следовательно, тz(Fxy) = mо(Fху) или, согласно предыдущему равенству,

mz(F) == то (Fxy) = ± Fxy h. (35)

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент будем считать положительным, если с положительного конца оси г поворот, который сила Fxy стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как Fxy=0).

2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h=0). Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

§ 22. Момент пары сил как вектор

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной мод) плоскостью действий, 3) направлением поворота в этой плоскости. Будем изображать момент пары вектором т или М, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, то есть произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 31).

Рис. 31

Так как пару можно располагать где угодно в плоскости ее действия или в плоскости ей параллельной, то вектор т можно прикладывать в любой точке тела (такой вектор называется свободным),

Как известно, модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, то есть m=mв (F); по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно,

m = mв(F) = mA(F’).

§ 23. Сложение пар в пространстве. Условия равновесия пар

Правило сложения пар, не лежащих в одной плоскости, дается теоремой: любая система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Докажем сначала теорему для случая, когда на тело действуют две пары сил с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях (I) и (II) (рис. 32). Возьмем на линии пересечения этих плоскостей отрезок AB = d. Пользуясь свойствами пар, изобразим пару с моментом m1 силами F1, F', а пару с моментом m2 силами F2, F2', приложенными в точках A и B. При этом, очевидно, будет F1d=m1, F2d=m2.

Рис. 32

Складывая силы, приложенные в точках А и В, убеждаемся, что пары (F1, F1') и (F2, F2'') действительно заменяются одной парой (R, R'). Найдем момент М этой пары. Так как R = F1+F2, а момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой, то по формуле будет:

M=AB´ R=AB´ (F1+F2)=(AB ´ F1)+(AB´ F2).

Но AB´ F1=m1, а AB´ F2=m2. Следовательно,

M=m1+m2, (36)

то есть вектор M изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах т1 и m2. Для двух пар теорема доказана. Если на тело действует n пар с моментами m1, m2,…,mn, то, последовательно применяя формулу (36), получим, что данная система пар будет действительно заменяться одной парой с моментом

M=m1+m2+…+mn=å mk. (37)

Вектор M можно найти как замыкающую сторону многоугольника, построенного из слагаемых векторов.

Если слагаемые векторы не лежат в одной плоскости, то подсчет удобнее вести аналитически. Проведя оси координат, мы, на основании теоремы о проекциях суммы векторов на ось, найдем из равенства (37), что

Mx=å mkx, My=å mky, Mz=å mkz. (38)

По этим проекциям можно построить вектор M. Модуль его вычисляется по формуле

M=Ö Mx2+My2+Mz2.

Из полученных результатов легко находятся условия равновесия системы пар, действующих на твердое тело. Так как любая система пар заменяется одной парой с моментом, определяемым равенством (38), то при равновесии должно быть М=0 или

å mk=0,

то есть многоугольник, построенный из векторов моментов, действующих на тело пар, должен быть замкнутым.

Аналитические условия равновесия найдем, приняв во внимание, что М=0 только тогда, когда Mx=0, My=0, Mz=0. А это, согласно формулам (38), будет, если