Теоретическая механика (стр. 16 )

dA=F×dr. (126)

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу F на составляющие Fx, Fy, Fz по направлениям координатных осей. Элементарное перемещение ds слагается из перемещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где х, у, z – координаты точки М. Тогда работу силы F на перемещении ds можно вычислить как сумму работ ее составляющих Fx, Fy, Fz на перемещениях dx, dy, dz. Но на перемещении dx совершает работу только составляющая Fx, причем ее работа равна Fxdx. Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично. Окончательно находим:

dA=Fxdx+Fydy+Fzdz. (127)

Формула (127) дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении M0M1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

, (128)

или

. (129)

Следовательно, работа силы на любом перемещении M0M1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М0 и M1,.

Если величина Ft постоянна (Ft= const), то из (128), обозначая перемещение M0M1 через S1, получим:

. (130)

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж=1 нм).

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, работу которых можно вычислить заранее. Такими могут быть только постоянные силы или силы, зависящие от положения (координат) движущейся точки.

Для вычисления работы сил, зависящих от времени или скорости движения точки, надо дополнительно знать закон ее движения, то есть координаты x, y, z как функции времени. Тогда все переменные можно выразить через время t. Не зная закона движения точки, то есть не решив предварительно основную задачу динамики, работу таких сил определить нельзя.

Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

,

где t1 – время, в течение которого произведена работа A. В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт
(1 вт=1 дж/сек).

Из равенства W=FtV видно, что у двигателя, имеющего данную мощность W, сила тяги Ft будет тем больше, чем меньше скорость движения V.

§ 58. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения M0, где она имеет скорость V0, в положение M1, где ее скорость равна V1.

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению ma=åFk, выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную Мt к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим:

Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде

В результате будем иметь:

Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что Fktds=dAk, где dAk, – элементарная работа силы Fk, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках М и Mi, найдем окончательно:

(131)

Уравнение (131) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

§ 59. Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов)

Из двух основных динамических характеристик величина mV является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора mV оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Момент вектора mV относительно данного центра О или оси z обозначается т0(mV) или тz(т) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора mV так же, как и момент силы. При этом вектор mV считается приложенным к движущейся точке. По модулю |m0(mV)|=mVh, где h – длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора mV.

1. Теорема моментов относительно оси. Рассмотрим материальную точку массы т, движущуюся под действием силы F. Найдем для нее зависимость между моментами векторов mv и F относительно какой-нибудь неподвижной оси z.

mz(F)=xFy–yFx. (132)

Аналогично для величины mz(mV), если вынести т за скобку, будет

mz(mV)=m(xVy–yVx). (133)

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим:

В правой части полученного выражения первая скобка равна нулю, так как , а . Вторая же скобка, согласно формуле (132), равна mz(F), так как по основному закону динамики

, .

Окончательно будем иметь

[mz(mV)]=mz(F). (134)

Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы. относительно той же оси.

Из уравнения (134) следует, что если mz(F)=0, то тz(mV)= const, то есть если момент действующей силы относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси есть величина постоянная.

2. Теорема моментов относительно центра. Найдем для материальной точки, движущейся под действием силы F, зависимость между моментами векторов mV и F относительно какого-нибудь неподвижного центра O.

m0(mV)=r´mV. (135)

При этом вектор m0(mV) направлен перпендикулярно плоскости, проходящаей через центр О и вектор mV. Дифференцируя выражение m0(mV) по времени, получаем:

Но V´mV=0 как векторное произведение двух параллельных векторов, a ma=F. Следовательно,

(r´mV)=r´F (136)

или

[m0(mV)]=m0(F). (137)

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Динамика системы и твердого тела

Глава 15. Введение в динамику системы.
Моменты инерции твердого тела

§ 60. Механическая система. Силы внешние и внутренние

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных. Материальное тело мы также будем рассматривать как систему материальных частиц (точек), образующих это тело.

Силы, действующие на точки или тела системы, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом Fе, а внутренние – Fi.

Как внешние, так и внутренние силы могут быть активными или реакциями связей. Разделение сил на внешние и внутренние является условным и зависит от того, движение какой системы тел мы рассматриваем. Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами Fi12 и Fi21, сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то