Теоретическая механика (стр. 25 )

Выбрав направление осей х и у, как показано на рис. 17, а, получаем:

aBcos 30° = – aBAcos 60° + aЦА cos 30° + аЦАB; (2)

aBcos 60° = aBAcos30° + aЦА cos 60° + aBАB. (3)

Из уравнения (2) находим

aB = 16,7 см/с2.

Ускорение aB направлено, как показано на рис. 17, a. Из уравнения (3) получаем

aBАB = -20,2 см/с2.

Направление aBАB противоположно показанному на рис. 17, a. Ускорение aB и все его составляющие с учетом их истинных направлений и масштаба показаны на рис. 17, б.

Угловое ускорение шатуна АВ с учетом того, что здесь aBАB алгебраическая величина, определяется по формуле

e AB=| aBАB| /AB.

Вычисляя, находим

e AB = 0,34 рад/с2.

Направление ускорения aBАB относительно полюса А определяет направление углового ускорения e AB. Здесь под направлением углового ускорения понимается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения, а при замедленном – противоположно ему. В данном случае угловое ускорение противоположно направлению вращения шатуна.

Определить aB и aBАB можно и графически – построением многоугольника ускорений.

Отложим из точки В согласно (1) в выбранном масштабе последовательно векторы aBА, aЦА и aЦАB (рис. 17, в). Через конец вектора aЦАB проведем прямую, параллельную вращательному ускорению aBАB.

Модули aB и aBАB могут быть найдены измерением на чертеже.

Определяем ускорение точки С:

aC=aBA+aЦA+aBAC+aЦAC

Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А равны:

aBAC=e AB×AC; aЦAC=w 2AB×AC,

или

aBAC = 6,8 см/с2; aЦAC=w 2AB AC.

Вектор aBAC перпендикулярен вектору и направлен соответственно угловому ускорению e AB.

Ускорение точки С находим способом проекций (рис. 17, a):

аCx= aЦAC+ aЦACcos30° - aBAcos60°,

аCн= aЦAcos60° + aBAcos30° -aBAC,

. 

В результате вычислений получаем: аCx = 11,2 см/с2; аСy = 21,8 см/с2; aC = 24 5 см/с2 (рис. 17, г).

Задание Д1. Применение основных теорем динамики
к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 18). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. Необходимые для решения данные приведены в табл. 9.

Таблица 9

Номер варианта	m, кг	VA, м/с	t, с	R, м	f	a, град	b, град	h0, см	c, Н/см
1	0,5	20	2,0	2,0	0,20	30	45	–	–
2	0,6	16	0,2	4,0	0,10	45	20	–	–
3	0,4	0	2,0	0,2	0,15	30	–	10	1
4	0,2	5	0,5	1,0	0,10	45	–	–	–
5	0,1	8	1,5	2,0	0,20	30	–	–	–
6	0,3	2	2,0	4,0	0,10	30	20	30	2
7	0,4	5	1,0	1,0	0,10	30	–	50	5
8	0,2	1	0,5	1,5	0,15	30	60	0	4
9	0,5	2	1,5	4,0	0,25	20	60	–	–
10	0,4	4	0,1	0,5	0,10	30	60	0,2	0,2

В задании приняты следующие обозначения: т – масса шарика; vA – начальная скорость шарика; t – время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9, 10); f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 – начальная деформация пружины; h – наибольшее сжатие пружины; с – коэффициент жесткости пружины; H – наибольшая высота подъема шарика; s – путь, пройденный шариком до остановки.

Рис. 18

Пример выполнения задания (рис. 19). Дано: m=0,5 кг; vA = 0,8 м/с; t = 0,1 с (время движения на участке BD); R = 0,2 м; f = 0,1; a = 60°;
b = 30°; h0 = 0; с = 10 Н/см = 1000 Н/м.

Рис. 19

Определить vВ, VC, NC, vD, h.

Решение. Для определения vB и VC применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках АС и АВ траектории происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем):

м/с;

,

или

м/с.

Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю:

.

Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:

.

Сумма проекций сил , N'C и на ось х должна быть равна нулю:

.

Отсюда

,

или

H.

Реакцию N'c можно также определить с помощью естественного уравнения движения:

.

Отсюда

.

Искомое давление Nc шарика на стенку трубки по числовому значению равно найденной реакции N'c и направлено в противоположную сторону.

Скорость шарика в положении D найдем, применив на участке BD теорему об изменении количества движения материальной точки (рис. 20):

.

К точке приложены сила тяжести , реакция стенки трубки и сила трения :

.

Так как

, , ,

то

,

откуда м/с.

Для определения максимального сжатия h пружины воспользуемся на участке DE теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:

Рис. 20

Учитывая, что vE = 0 и H3 = h sin b, получаем

,

или

.

Решая полученное квадратное уравнение относительно h, получим

h=(–0,003±0,090) м.

Принимаем в качестве искомой величины положительный корень квадратного уравнения: