Теоретическая механика (стр. 12 )

3) Угловая скорость тела, равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки сечения S к ее расстоянию от мгновенного центра Р:

w =VB /PB. (88)

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижно, то точка касания Р (для сечения, изображенного на рис. 53) имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, и, следовательно, является мгновенным центром скоростей (VP=0, так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости, а между тем второе тело неподвижно). Примером служит качение колеса по рельсу.

Рис. 53

б) Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к VА (рис. 54, а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны VА. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что VА cosa = VВ cosb, то есть VА = VВ; аналогичный результат получается для всех других точек тела. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек тела в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, то есть тело имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость w тела в этот момент времени равна нулю.

Рис. 54

в) Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к VА, то мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 54, б. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо, кроме направлений, знать еще и модули скоростей VА и VВ.

г) Если известен вектор скорости VВ какой-нибудь точки сечения S и угловая скорость w, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к VВ, можно найти из равенства, которое дает BP= VВ /w.

§ 45. Определение ускорений точек тела

Покажем, что ускорение любой точки М тела при плоскопараллельном движении (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые она получает в поступательном и во вращательном движениях этого тела. Положение точки М по отношению к осям Оху определяется радиусом-вектором r = rА+r', где r'=АМ. Тогда

аМ =d2r/dt2=d2rА/dt2+d2r'/dt2.

В полученном равенстве величина d2rА/dt2 =аА равна ускорению полюса А, а величина d2r'/dt2=аМА определяет ускорение, получаемое точкой М при ее вращении вместе с телом вокруг полюса А. Следовательно,

аМ = аА+ аМА. (89)

При этом для ускорения аМА точки М во вращательном движении вокруг полюса А будет:

а2МА=МА2( e 2+ w 4), tgm =e /w 2, (90)

где w и e – угловая скорость и угловое ускорение тела, а m – угол между направлением аma и отрезком MA.

Таким образом, ускорение любой точки М тела геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения аМ находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 55).

Рис. 55

Однако вычисление величины aM с помощью изображенного на рис.55 параллелограмма несколько усложняет расчет, так как предварительно надо будет вычислять угол m, а затем угол между aMA и aA. Поэтому при решении задач удобнее вектор aMA заменять его касательной (at MA) и нормальной (anMA) составляющими, где

at MA=AM*e, anMA=AM*w 2. (91)

Вектор atMA направлен перпендикулярно AM в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор anMA всегда направлен от точки М к полюсу А.

Тогда получим:

w M=w A+w t MA+w nMA. (92)

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет также слагаться из касательного и нормального и тогда

w M=w At +w Аn+w t MA+w nMA. (93)

Глава 11. Сложное движение точки

§ 46. Относительное, переносное и абсолютное движения

До сих пор мы рассматривали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев оказывается необходимым рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называется сложным.

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz, которая движется относительно другой системы отсчета O1x1y1z1, условно названной нами неподвижной (рис. 56). Введем следующие определения:

Рис. 56

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат, называется относительным движением. Траектория AB, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость движения точки М но отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается Vrотн), а ускорение точки в этом движении – относительным ускорением (обозначается aотн). Из определения следует, что при вычислении Vотн и aотн оси Oxyz можно считать неподвижными.

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе O1x1y1z1, является для точки М переносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки т, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается Vе), а ускорение этой точки – переносным ускорением точки М (обозначается aпер). Таким образом,

Vпер=VM, aпер=am, (94)

где т – неподвижная по отношению к осям Oxyz точка, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О1х1у1z1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость – абсолютной скоростью (обозначается Vа) и ускорение – абсолютным ускорением (обозначается aа).

§ 47. Сложение скоростей

Рассмотрим сложное движение точки. Пусть эта точка совершает за промежуток времени Dt=t1 – t вдоль своей относительной траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ (рис. 57,а). Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Oxyz, перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение A1B1. Одновременно та точка т кривой АВ, с которой в момент t совпадает точка М совершит переносное перемещение mm1=Mm1. В результате этих движений точка М придет в положение M1 и совершит за время D t абсолютное перемещение MM1. Из векторного треугольника Мm1М1 имеем:

MM1=Mm1+m1M1

Находим, что

Vа=Vотн+Vпер (95)

Рис. 57

Направлены векторы Vа, Vотн, Vпер по касательным к соответствующим траекториям (рис. 57, б).

Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной п переносной скоростей. Построенная на рис. 57, б фигура называется параллелограммом скоростей.

С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки, а именно: а) зная скорости Vотн и Vпер, можно найти абсолютную скорость точки Vа; б) зная Vа, и направления скоростей Vотн и Vпер, можно найти модули этих скоростей; в) зная скорости Vа и Vпер, можно найти относительную скорость точки Vотн из равенства

Vотн =Vа+(-Vпер),

то есть сложив геометрически вектор Vа с вектором, равным по модулю и противоположным по направлению вектору Vпер.

§ 48. Сложение ускорений

Найдем зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки. Для этого воспользуемся равенством (95). Из него получаем

aa=dVa /dt=dVотн/dt+dVпер/dt. (96)

Вычислим стоящие справа производные, которые, как мы увидим, в общем случае не равны aотн и апер соответственно. Для этого нам понадобятся выражения векторов Vотн, аотн, Vпер, апер.