Теоретическая механика (стр. 27 )

где – момент инерции блока 3 относительно оси Ох:

. (13)

Подставляя (6), (13) в формулу (12), получаем

. (14)

Кинетическая энергия шатуна 4, совершающего плоское движение

,

где vC4 – скорость центра масс C4 шатуна 4; w4 – угловая скорость шатуна 4; J4x, – момент инерции шатуна относительно центральной оси С4x. Для определения VC4 и w4 найдем положение мгновенного центра скоростей шатуна 4. Так как скорости точек А и В в этот момент параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна 4 находится в бесконечности, следовательно, угловая скорость шатуна в данный момент w4=0, а скорости всех его точек параллельны и равны между собой. Таким образом, кинетическая энергия шатуна 4

, (15)

где

. (16)

Вращательная скорость точки А тела 3

, (17)

или с учетом (13)

.

Поскольку , получим

.

По (16)

, . (18)

После подстановки (18) в (15) выражение кинетической энергии шатуна 4 принимает вид

. (19)

Кинетическая энергия катка 5, совершающего плоское движение,

,

где – скорость центра масс С5 катка 5; – момент инерции катка 5 (однородного сплошного цилиндра) относительно его центральной продольной оси , ; w5 – угловая скорость катка 5.

Так как каток катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке Р5. Поэтому

.

Следовательно,

.

Так как звено ВС5 совершает поступательное движение, то , но . Значит, .

Поэтому выражение кинетической энергии катка 5 принимает вид

. (20)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (8) с учетом (9), (12), (14), (19), (20):

Подставляя сюда заданные значения масс, получаем

,

или

. (21)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рис. 21, в).

Работа силы тяжести

. (22)

Работа силы трения скольжения

.

Так как

,

то

. (23)

Работа силы тяжести

. (24)

Работа сил сцепления , катков 2 и 5 равна нулю, так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей этих катков. Работа силы тяжести

,

где – вертикальное перемещение центра тяжести С4 шатуна 4 из начального положения в его конечное положение (рис. 21, г):

,

. (25)

Работа пары сил сопротивления качению катка 5

, (26)

где  – момент пары сил сопротивления качению катка 5; j5 – угол поворота катка 5.

Так как каток 5 катится без скольжения, то угол его поворота

, (27)

где sC5 – перемещение центра тяжести С5 катка 5.

В данном примере работу пары сил сопротивления вычислим как сумму работ этой пары при качении катка 5 влево при повороте тела 3 на угол p/2 и качении вправо, когда тело 3 повернется еще на угол p/2. Перемещение центра тяжести C5 катка 5 равно перемещению ползуна В влево и право:

Определим перемещение В0В' при повороте тела 3 на угол p/2. За начало отсчета координаты точки В выберем неподвижную точку К плоскости (рис. 21, г). При этом повороте тела 3 шатун из положения А0В0 перейдет в положение KB'. Тогда

,

где

,

.

Следовательно,

(28)

Подставляя (28) в (27), находим полный угол поворота катка 5:

. (29)

Работа пары сил сопротивления качению катка 5 определится по формуле

. (30)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (22) -(25) и (30):

.

Подставляя заданные значения масс, получаем

или

. (31)

Согласно теореме (2), приравняем значения T и , определяемые по формулам (21) и (31):

,

откуда

V1= 0,21 м/с.

Задание Д3. Применение принципа возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной
степенью свободы

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, показаны на рис. 24, а необходимые данные приведены в табл. 11. Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в предпоследней графе табл. 11.

Примечание. Механизмы в вариантах 3, 6, 10, расположены в вертикальной плоскости, а остальные – в горизонтальной.

Пример выполнения задания. Дано: Q = 100 Н; с = 5 Н/см; r1 = 20 см; r2 = 40 см; r3 = 10 см; ОА = l = 50 см; a = 30°; b = 90° (рис. 23).

Рис. 23

Определить деформацию h пружины, пренебрегая весом звеньев ОА и АВ.

Решение. Рассматриваемый механизм (рис. 23) находится под действием следующей системы уравновешивающихся сил: силы упругости F, сил тяжести G1 вала 1 с шестерней 2, G3 шестерни 3, G4 ползуна В, Q груза и реакций опор.

Составим уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений:

.

Связи, наложенные на механизм, допускают следующие возможные перемещения его звеньев: поворот вала 1 с шестерней 2 на угол dj1,

поворот шестерни 3 на угол dj3 и поступательное перемещение груза по вертикали на dsQ. Ползун В может иметь перемещение dsB (перемещение по горизонтали), а точка А – перемещение dsA (отрезок dsA перпендикулярен ОА). Уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений, получает вид: