Теоретическая механика (стр. 9 )

Размерность скорости – м/сек.

§ 33. Вектор ускорения точки

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость V, а в момент t1 приходит в положение M1 и имеет скорость V1 (рис. 39). Тогда за промежуток времени D t = t1-t скорость точки получает приращение D V = V1 – V.

Рис. 39

Для построения вектора D V отложим от точки М вектор, равный V1, и построим параллелограмм, в котором диагональю будет V1, а одной из сторон V. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор D V. Отношение приращения вектора скорости D V к соответствующему промежутку времени D t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

аср=D V/D t. (62)

Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина а, к которой стремится среднее ускорение аср при стремлении промежутка времени D t к нулю:

а = Iim D V/D t=dV/dt

или

а= dV/dt= d2r/dt2. (63)

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения – м/сек2.

§ 34. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если ее движение задано уравнениями.

1) Определение скорости точки. Вектор скорости точки V= dr/dt. Отсюда, учитывая, что rx=х, ry=y, rz=z, будем иметь:

Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt. (64)

Таким образом, проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (то есть углы a, b, g, которые вектор V образует с осями координат) по формулам:

V2=V2x+V2y+V2z

cosa =Vx/V, cosb =Vy/V, cosg =Vz/V. (65)

2) Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки
а =dV/dt. Отсюда на основании теоремы о проекции производной получаем:

аx=dVx/dt, аy=dVy/dt, аz=dVz/dt (66)

или

аx =d2x/dt2, аy=d2y/dt2, аz=d2z/dt2,

то есть проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул:

а2= а2x+ а2y+ а2z

cosa 1=аx/а, cosb 1=аy/а, cosg 1=аz/а. (67)

где a 1, b 1, g 1 – углы, образуемые вектором ускорения с осями координат.

В случае прямолинейного движения, которое задается одним уравнением x=f(t), будем иметь

Vx=dx/dt, Vy=dy/dt, Vz=dz/dt. (68)

§ 35. Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Пусть даны траектория точки и закон движения вдоль этой траектории в виде

s=f(t). (69)

Рассмотрим, как в этом случае определяется скорость точки. Если за промежуток времени D t = t1-t точка переходит из положения М в положение M1, совершая вдоль дуги траектории перемещение Ds = s1-s (рис. 40), то численная величина ее средней скорости будет равна:

Vср=s1-s / t1-t =D s/D t. (70)

Переходя к пределу, найдем численную величину скорости точки в данный момент времени t:

V=limD s/D t =ds/dt. (71)

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам известна.

Формула (70) (или 71) определяет численную (алгебраическую) величину скорости, то есть величину со знаком, причем знак V совпадает со знаком D s, так как всегда Dt >0.

Рис. 40

§ 36. Касательное и нормальное ускорения точки

При естественном способе задания движения вектор а определяют по его проекциям на оси Мtпв, имеющим начало в точке М и движущимся вместе с нею (рис. 41). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника (или скоростными осями), направлены следующим образом: ось Мt – вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s, ось Мп – по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mв – перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль Мп, лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mв – бинормалью.

Рис. 41

Ускорение точки а лежит в соприкасающейся плоскости, то есть в плоскости Mt п, следовательно, проекция вектора а на бинормаль равна нулю (ав=0).

Вычислим проекции а на две другие оси. Пусть в момент времени t точка находится в положении М и имеет скорость V, a в момент t1= t+Dt приходит в положение M1 и имеет скорость V1.

Тогда по определению

а = Iim D V/D t =lim(V1 - V)/ D t.

Перейдем в этом равенстве от векторов к их проекциям на оси Мt и Мп, проведенные в точке М. Тогда на основании теоремы о проекции суммы (или разности) векторов на ось получим:

аt = lim(V1t -Vt)/D t, аn= lim(V1n-Vn)/ D t.

Учитывая, что проекции вектора на параллельные оси одинаковы, проведем через точку M1 оси Мt ', Мn', параллельные Мt, Мп, и обозначим угол между направлением вектора V1 и касательной Мt через D j. Этот угол между касательными к кривой в точках М и М1 называется углом смежности.

Предел отношения угла смежности D j к длине дуги D s определяет кривизну k кривой в точке М. Кривизна же является величиной, обратной радиусу кривизны r в точке М. Таким образом,

limD j /D s=k=1/r.

Обращаясь к рис. 41, находим, что проекции векторов V и V1 на оси Мt и Мп будут равны:

Vt =V, Vn=0

V1t =V1cosD j, V1n=V1 sinD j,

где V и V1 – численные величины скорости точки в моменты t и t1. Следовательно,

аt =lim(V1cosD j - V)/ D t аn=lim(V1sinD j /D t.

Заметим, что при D t ® 0 точка M1 неограниченно приближается к М и одновременно D j ® 0, D s ®, V1® V.

Тогда, учитывая, что в пределе lim (cosD j)=l, получим для аt выражение

аt =lim(V1-V)/ D t=dV/dt.

Правую часть выражения аn преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на D j D s. Тогда будем иметь

аn=lim(V1sinD j D j D s)/( D j D sD t)=V2/r, (72)

так как пределы каждого из стоящих в скобке сомножителей при D t® 0 равны:

limV1=V, lim(sinD j /D j)=1, lim(D j /D s)=1/r, lim(D s/D t)=V.

Окончательно получаем:

аt =dV/dt=d2s/dt2; an=V2/r.

Итак, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s no времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю (ав=0).

Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих аt и аn. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а и угол m его отклонения от нормали Мп определятся формулами:

a2= а2t + а2n=(dV/dt)2+(V2/r), tgm =| аt |/ аn.

Глава 9. Поступательное и вращательное движения
твердого тела

§ 37. Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.