Теоретическая механика (стр. 24 )

x=4t; у= 16t2 – 1; (1)

f1 == 0,5 (х и у – в см, t и t1 – в с).

Решение. Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1).

Получаем у= х2- 1, то есть траекторией точки является парабола, показанная на рис. 13.

Вектор скорости точки

V=Vxi+Vyj. (2)

Вектор ускорения

a=axi+ayj.

Рис. 13

Здесь i, j – орты осей х и у;Vx, Vy, ax, ay – проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

Vx=x'=4 см/с; ax=x''=0; (3)

Vy=y'=32t; ay=y''=32 см/с2.

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

(4)

и модуль ускорения точки:

. (5)

Модуль касательного ускорения точки

at =|dV/dt|, (6)

или

at =|V× a/V|; (6')

at =|(Vxax+Vyay)/V|. (6'')

Здесь dV/dt выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, направления at и v совпадают; знак «-» – что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

an=V2/r. (7)

Если радиус кривизны траектории r в рассматриваемой точке неизвестен, то an можно определить по формуле

an =|V ´ a|/V. (8)

При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид

an =|Vxay+Vyax|/V. (8')

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

. (9)

После того как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения

r =V2/an. (10)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8) и (10) для заданного момента времени t1=0,5 с приведены в табл. 6.

Таблица 6

Координаты, см	Скорость, см/с	Ускорение, см/с2	Радиус кривизны, см
x	y	Vx	Vy	V	ax	ay	a	at	an	r
2,0	3,0	4,0	16,0	16,5	0	32,0	32,0	31,0	7,8	35,0

На рис. 13 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор V строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие at и an. Совпадение величин at и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

Задание К2. Кинематический анализ плоского механизма

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схемы механизмов помещены на рис. 16, а необходимые для расчёта данные приведены в табл. 7.

Таблица 7

Номер варианта	Размеры, см	wоA, рад/с	wI, рад/с	eОА, рад/с2	VA, см/с	aA, см/с2
OA	r	AB	AC
1	40	15	–	8	2	–	2	–	–
2	30	15	–	8	3	–	2	–	–
3	–	50	–	–	–	–	–	50	100
4	35	–	–	45	4	–	8	–	–
5	25	–	–	20	1	–	1	–	–
6	40	15	–	6	1	1	0	–	–
7	35	–	75	60	5	–	10	–	–
8	–	–	20	10	–	–	–	40	20
9	–	–	45	30	–	–	–	20	10
10	25	–	80	20	1	–	2	–	–

Пример выполнения задания. Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 14); исходные данные (табл. 8).

Таблица 8

Размеры, см	w ОА, рад/с	eОА, рад/с2
ОA	AB	AC
10	60	20	1,5	2

Рис. 14

Решение. 1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рис. 15). Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА при заданном положении механизма:

VA=w OA× OA.

Рис. 15

Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по вертикали. Мгновенный центр скоростей РAB шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к их скоростям.

Угловая скорость звена АВ

w AB=VA /APAB.

Модули скоростей точек В и С

VB =w AB×BPAB; VC =w AB×CPAB .

Рис. 16

Расстояния АРAB, ВРAB и СРAB определяются из рассмотрения треугольников ABPAB и ACPAB:

АРAB = 52,0 см; ВРAB = 30,0 см; СРAB = 36,1 см.

В соответствии с этим VA = 15,0 см/с; wAB = 0,29 рад/с;

VB = 8,7 см/с; VC = 10,5 см/с.

Вектор VC направлен перпендикулярно отрезку СРAB в сторону, соответствующую направлению вращения звена АВ.

Для проверки определим скорость точки В другим способом. Воспользуемся теоремой о равенстве проекции скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.

Направим ось х вдоль шатуна АВ в направлении от В к А. Имеем VAcos(VA, x)=VBcos(VB, x), или, как видно из рис. 2,

VA cos60° = VB cos 30°.

Отсюда

VB = 8,7 см.

Полезно убедиться, что и найденная ранее скорость точки С удовлетворяет этой теореме.

2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рис. 17). Ускорение точки А складывается из вращательного и центростремителького ускорений:

aA=aBA+aЦА; aBA=e ОА×OA; aЦА=w 2ОА×OA.

Рис. 17

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры

aB=aA+aBAB+aЦАВ,

или

aB=aA+aЦA+aBAB+aЦAB. (1)

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А

аЦAB=w 2AB×AB.

По приведенным формулам вычисляем:

aBA= 20,0 см/с2; аЦА= 22,5 см/с2; аЦАВ= 5,0 см/с2.

Вектор аЦА направлен от А к О. Вектор aBA перпендикулярен вектору аЦА и направлен противоположно vА (вращение кривошипа ОА – замедленное).

Вектор аЦАB направлен от B к А. Что касается ускорения aB точки В и вращательного ускорения aBAB, то известны только линии действия этих векторов: аB – по вертикали вдоль направляющих ползуна, аBАB – перпендикулярно АВ.

Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям (рис. 17, a). Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства (1) на оси координат. Знак в ответе показывает, соответствует ли истинное направление вектора принятому при расчете.