Теоретическая механика (стр. 15 )

Уравнения (117) позволяют решать как первую, так и вторую (основную) задачи динамики. Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать ещё начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются при в виде

(118)

Зная действующие силы, после проинтегрирования уравнений (117) найдем координаты х, у, z движущейся точки, как функции времени , то есть найдем закон движения точки. При этом полученные решения будут содержать шесть постоянных интегрирования , значения которых должны определяться по начальным условиям (118).

Глава 14. Общие теоремы динамики точки

§ 54. Количество движения и кинетическая энергия точки

Основными динамическими характеристиками движения точки являются количество движения и кинетическая энергия.

Количеством движения точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Направлен вектор так же, как и скорость точки, то есть по касательной к ее траектории.

Кинетической энергией (или живой силой) точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Необходимость введения двух динамических характеристик объясняется тем, что одной характеристикой нельзя охватить все особенности движения точки.

§ 55. Импульс силы

Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Введем сначала понятие об элементарном импульсе, то есть об импульсе за бесконечно малый промежуток времени . Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени :

. (119)

Направлен элементарный импульс по линии действия силы. Импульс любой силы за конечный промежуток времени вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов:

.

Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени t1 равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t1.

В частном случае, если сила и по модулю, и по направлению постоянна ( ), будем иметь . Причем, в этом случае и модуль . В общем случае модуль импульса может быть вычислен через его проекции.

Проекции импульса на оси координат найдем, учитывая, что интеграл представляет собою предел суммы, а проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ту же ось. Следовательно,

, , . (120)

По этим проекциям можно построить сам вектор и найти его модуль и углы с осями координат.

Для решения основной задачи динамики важно выделить те силы, импульсы которых можно вычислить заранее, не зная закона движения, совершаемого точкой под действием этих сил. Из равенств (120) видно, что к таким силам относятся только постоянные силы и силы, зависящие от времени.

Для вычисления импульсов сил, зависящих от координат или от скорости движения точки, надо дополнительно знать закон ее движения, то есть уравнения . Тогда, выразив или через , можно вычислить интегралы (120). Не зная закона движения точки, то есть не решив предварительно основной задачи динамики, импульсы таких сил вычислить нельзя.

§ 56. Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение , уравнение, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

(121)

Уравнение (121) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил. Проинтегрируем это уравнение.

Пусть точка массы , движущаяся под действием силы , имеет в момент скорость , а в момент  – скорость . Умножим тогда обе части равенства (121) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интегралов будут и t1, а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости V0 и V1. Так как интеграл от d(mV) равен mV, то в результате получим:

mV1-mV0=åFkdt.

Стоящие справа интегралы представляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

mV1-mV0=åSk. (122)

Уравнение (122) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (122) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (122) на оси координат, получим:

(123)

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.

§ 57. Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы. При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введем сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы F называется скалярная величина

, (124)

где Ft – проекция силы F на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds – бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о характеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу F на составляющие Ft и Fn, то изменять модуль скорости точки будет только составляющая Ft, сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же Fn или изменяет направление вектора скорости V (сообщает точке нормальное ускорение), или при несвободном движении изменяет давление на связь. На модуль скорости составляющая Fn влиять не будет.

Замечая, что Ft=Fcosa, получаем еще из равенства (124)

dA=Fdscosa. (125)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементарное перемещение ds, или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол a острый, то работа положительна. В частности, при a=0 элементарная работа dA=Fds.

Если угол a тупой, то работа отрицательна. В частности, при a=180° элементарная работа dA=-Fds.

Если угол a=90°, то есть если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Как известно из кинематики, вектор элементарного перемещения точки dr=Vdt, a ds=|V|dt. Отсюда видно, что ds=|dr|. Тогда если воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (125) можно представить в виде