Приведем перечень теоретических вопросов и типовых задач по каждому модулю дисциплины.
Модуль12. Действительные числа и их свойства
Вопросы к экзамену
1. Аксиоматика множества действительных чисел. Модуль действительного числа, его свойства.
2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств
Типовые задачи:
1. Найдите точные границы данного числового множества.
2. Покажите, что число М является точной верхней границей множества всех положительных правильных дробей, а число А – его точной нижней границей.
3. Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества?
4. Приведите примеры множеств, которым:
а) не принадлежат их точные границы;
б) принадлежат их точные границы;
в) нижняя точная граница ему принадлежит, а верхняя – нет.
Модуль 2. Функции и их свойства
Вопросы к экзамену
1. Понятие функции (отображения). Основные свойства функций (понятия сюръекции, инъекции, биекции, сложной и обратной функции), примеры.
2. Числовые функции. Свойства числовых функций: ограниченность, монотонность, четность и нечетность. График функции и геометрическая иллюстрация основных свойств. График обратной функции.
3. Периодические функции. Теоремы о свойствах периодов. Основной период. Примеры.
4. Построение графиков числовых функций методом преобразований.
Типовые задачи:
1. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и множество значений функций 
.
2. Даны две функции 
. Найдите их композицию и укажите области определения всех функций.
3. Дана функция. Исследуйте ее на четность и нечетность, периодичность и монотонность.
4. Дан график функции. Опишите свойства данной функции.
5. Постройте график данной функции с помощью сдвига и деформации.
Модуль 3. Последовательности. Пределы последовательностей
Вопросы к экзамену
1. Понятие числовой последовательности. Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности.
2. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.
3. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
4. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
5. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
6. Определение числа е (теоремы о свойствах соответствующей последовательности).
7. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
8. Условие Коши для последовательностей и критерий Коши сходимости числовой последовательности.
9. Понятие подпоследовательности. Теорема Вейерштрасса
Типовые задачи:
1. Дана последовательность. Выясните, будет ли последовательность монотонна, ограничена?
2. Используя определение предела последовательности, докажите, что 
.
3. Докажите, что данная последовательность не имеет предела.
4. Вычислите предел последовательности.
Модуль 4. Предел функции. Непрерывность функции
Вопросы к экзамену
1. Определение предела функции (по Коши). Единственность предела. Геометрический смысл предела. Случаи конечных и бесконечных пределов в конечной точке и в бесконечности.
2. Определения предела функции по Гейне, теорема об эквивалентности определений по Гейне и по Коши.
3. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
4. Свойства функций, имеющих пределы, и свойства пределов, связанные с неравенствами.
5. Теорема о замене переменной при вычислении предела.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема о их основных свойствах.
7. Теорема об арифметических свойствах пределов числовых функций.
8. Теорема о пределах монотонных функций.
9. Понятие односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существование предела функции.
10. Условие Коши для числовых функций. Критерий Коши существования предела.
11. Определение непрерывности функции в точке, геометрический смысл, примеры. Разрывные функции, классификация точек разрыва.
12. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность сложной функции.
13. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
14. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней функции, непрерывной на отрезке.
15. Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Следствия теоремы Коши.
16. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.
17. Непрерывность элементарных функций (многочлены и рациональные функции, степенная функция с рациональным показателем).
18. Непрерывность элементарных функций (тригонометрические функции и обратные к ним).
19. Определение степени с произвольным вещественным показателем. Показательная функция, ее непрерывность.
20. Логарифмическая функция, непрерывность. Гиперболические функции.
21. Первый замечательный предел.
22. Второй замечательный предел и его следствия.
23. Сравнение функций, эквивалентные функции. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов (примеры).
Типовые задачи:
1. Используя определение предела по Коши, докажите, что предел функции равен данному числу или бесконечности.
2. Используя определение предела функции по Гейне, докажите, что функция не имеет предела.
3. Вычислите предел данной функции.
4. Найдите односторонние пределы функции.
5. Докажите, используя определение, что функция непрерывна в данной точке.
6. Исследуйте функцию на непрерывность.
7. Найдите точки разрыва функции и установите их вид.
Модуль 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Вопросы к экзамену
1. Определение производной. Таблица производных (вывод формул производных элементарных функций, исходя из определения производной).
2. Геометрический, физический, экономический смысл производной.
3. Односторонние и бесконечные производные.
4. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости.
5. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
6. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Таблица производных.
7. Дифференцирование обратной функции.
8. Дифференцирование сложной функции.
9. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
10. Инвариантность формы первого дифференциала.
11. Дифференцирование параметрически заданных функций (первая производная). Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование неявных функций.
12. Производные и дифференциалы высших порядков.
13. Дифференцирование параметрически заданных функций (производные высших порядков).
14. Понятия глобального и локального экстремума. Теорема Ферма.
15. Теорема Ролля.
16. Теорема Лагранжа.
17. Теорема Коши.
18. Правило Лопиталя.
19. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа).
20. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности.
21. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (в терминах первой производной).
22. Достаточное условие экстремума (в терминах второй производной).
23. Понятия выпуклости и вогнутости функции. Необходимое условие выпуклости (вогнутости).
24. Достаточное условие выпуклости (вогнутости).
25. Точки перегиба (определение, теоремы о точках перегиба).
26. Асимптоты графика функции и методы их нахождения.
27. Графический метод решения уравнений.
28. Приближенное вычисление корней уравнения.
Типовые задачи:
1. Найдите производную функции в точке, используя определение.
2. Найдите производную функции, используя правило производная произведения (частного).
3. Найдите производную сложной функции.
4. Найдите производную параметрически заданной функции.
5. Найдите производную неявно заданной функции.
6. Найдите производную, используя логарифмическое дифференцирование.
7. Найдите предел функции, используя правило Лопиталя.
8. Решите задачу, используя геометрический (физический) смысл производной.
9. Исследуйте функцию и постройте ее график.
10. Дан график производной функции. Опишите свойства функции.
Модуль 6 Интегральное исчисление функции одной переменной
Вопросы к экзамену
1. Первообразная и ее свойства. Основные задачи, приводящие к понятию первообразной.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Таблица основных интегралов.
4. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной.
5. Интегрирование по частям.
6. Интегрирование рациональной функции. Простейшие рациональные функции и их интегралы.
7. Интегрирование рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов.
8. Интегрирование тригонометрических функций. Основные подстановки. Универсальная тригонометрическая подстановка.
9. Интегрирование иррациональных функций (рациональные выражения, содержащие корни из линейной функции).
10. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
11. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о пройденном пути).
12. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл интеграла, примеры.
13. Необходимое условие существования определенного интеграла.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
