Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 3 )

71.  Приложения криволинейных интегралов.

Заочное отделение

1. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем. Точные грани число-вых множеств. Функция и ее свойства. Операции над функциями. Обратная функция..

2. Определение предела последовательности. Арифметика пределов последовательностей. Вычисление пределов последовательностей

3. Определение предела функции, его свойства. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Вычис-ление пределов функций.

4. Исследование функции на непрерывность в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций.

5. Вычисление производной по определению. Исследование функций на дифференцируемость. Решение задач с использованием геометрического смысла производной. Техника дифференцирования.

6. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Решение задач на использование основных теорем дифференциального исчисления.

7. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя. Построение графиков функции. Задачи на экстремум.

8. Нахождение простейших первообразных. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.

9. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.

10. Определенный интеграл.

11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

12. Вычисление несобственных интегралов.

13. Нахождение сумм числовых рядов. Применение теорем сравнения для ис-следования сходимости положительных рядов. Интегральный признак сходимости рядов; его применение. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость.

14. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помо-щью степенных рядов.

15. Функции нескольких действительных переменных, их графики. Пределы функций многих переменных. Исследование функций нескольких переменных на непрерывность в точке и на множестве.

16. Частные производные ФНП. Техника дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Исследование функций многих переменных на дифференцируемость. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций нескольких переменных на безусловный и условный экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте.

17. Вычисление двойных интегралов путем сведения их к повторным интегралам. Приложения двойных интегралов.

18. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода, независящих от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов второго рода.

3.4.  Перечень тем лабораторных работ

Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.

3.5.  Вопросы для контроля и самоконтроля

1.  Найдите границы числового множества .

2.  Покажите, что число 1 является точной верхней границей множества всех положительных правильных дробей, а число 0 – его точной нижней границей.

3.  Приведите примеры ограниченных бесконечных множеств. Существуют ли конечные неограниченные множества?

4.  Приведите примеры множеств, которым:

а) не принадлежат их точные границы;

б) принадлежат их точные границы;

в) нижняя точная граница ему принадлежит, а верхняя – нет.

5.  Можно ли утверждать, что в неограниченном множестве найдется бесконечное множество элементов, больших, чем любое наперед заданное число ?

6.  Можно ли по графику функции судить о её:

а) четности или нечетности;

б) периодичности или непериодичности?

7.  Область определения функции содержит m элементов, а область значений – n элементов. Докажите, что:

а) ;

б) для того, чтобы функция была взаимно однозначной, необходимо и достаточно, чтобы, .

8.  Докажите, что существует только одна функция, определенная на всей числовой оси, такая, что для любой функции также определенной на всей оси, справедливо равенство .

9.  Выясните, может ли четная функция быть строго монотонной.

10.  Возможен ли случай, когда графики функции и обратной к ней функции совпадают?

11.  Докажите ассоцитивность композиции.

12.  Выясните, четной или нечетной функцией является произведение двух:

а) четных функций;

б) нечетных функций;

в) четной и нечетной функции?

13.  Функция f – функция общего вида, g – четная, h – нечетная функции. Выясните, может ли быть четной или нечетной сумма:

а) ;

б) ?

14.  Сформулируйте и запишите, используя кванторы всеобщности и существования, определения того, что функция:

а) неограничена сверху;

б) неограниченна снизу;

в) не является возрастающей;

г) не является убывающей;

д) не является монотонной.

15.  Выясните, является ли ограниченной функцией:

а) сумма двух ограниченных функций;

б) разность двух неограниченных функций;

в) произведение постоянной и ограниченной функции;

г) произведение двух ограниченных функций;

д) частное двух неограниченных функций;

е) частное двух ограниченных функций?

В случае положительного ответа докажите соответствующее утверждение, в случае отрицательного - приведите контрпример.

16.  Пусть функция периодическая и имеет период Т. Докажите, что функция , где является периодической с периодом .

17.  Пусть функции и периодические с периодами и соответственно. Докажите, что любое положительное число, кратное и , является периодом функций .

18.  Приведите пример двух возрастающих на интервале функций, произведение которых:

а) возрастающая на функция;

б) немонотонная функция;

в) убывающая на функция?

19.  Приведите пример такой ограниченной сверху последовательности, чтобы точная верхняя граница не являлась членом этой последовательности.

20.  Приведите пример ограниченной последовательности, не имеющей предела.

21.  Объясните геометрический смысл того факта, что точка не является пределом данной последовательности .

22.  Проанализируйте, может ли знакоположительная последовательность иметь отрицательный предел, а знакоотрицательная последовательность – положительный предел? Могут ли эти последовательности иметь пределом число нуль?

23.  Раскройте смысл:

а) понятия «неопределенность» при вычислении предела;

б) выражения «неопределенность раскрыта.

37.  Приведите пример последовательности , которая расходится, но для которой последовательность сходится.

38.  Покажите, что:

а) каждая бесконечно большая последовательность является неограниченной;

б) не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

39.  Пусть - бесконечно малая, а и - бесконечно большие последовательности. Верно ли, что всегда:

а) - бесконечно большая последовательность;

б) - бесконечно малая последовательность;

в) - сходящаяся последовательность;

г) - бесконечно большая последовательность;

д) - расходящаяся последовательность.

40.  Объясните, почему выражение: «Мы доказали, что равен числу » неверное?

41.  Из данной последовательности выделено несколько подпоследовательностей, сходящихся к одному и тому же пределу. Можно ли на этом основании утверждать, что и сама последовательность тоже сходится? Ответ объясните.