10. Инвариантность формы первого дифференциала.
11. Дифференцирование параметрически заданных функций (первая производная). Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование неявных функций.
12. Производные и дифференциалы высших порядков.
13. Дифференцирование параметрически заданных функций (производные высших порядков).
14. Понятия глобального и локального экстремума. Теорема Ферма.
15. Теорема Ролля.
16. Теорема Лагранжа.
17. Теорема Коши.
18. Правило Лопиталя.
19. Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа).
20. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие монотонности.
21. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (в терминах первой производной).
22. Достаточное условие экстремума (в терминах второй производной).
23. Понятия выпуклости и вогнутости функции. Необходимое условие выпуклости (вогнутости).
24. Достаточное условие выпуклости (вогнутости).
25. Точки перегиба (определение, теоремы о точках перегиба).
26. Асимптоты графика функции и методы их нахождения.
27. Графический метод решения уравнений.
28. Приближенное вычисление корней уравнения.
Семестр 3
1. Первообразная и ее свойства. Основные задачи, приводящие к понятию первообразной.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Таблица основных интегралов.
4. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной.
5. Интегрирование по частям.
6. Интегрирование рациональной функции. Простейшие рациональные функции и их интегралы.
7. Интегрирование рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов.
8. Интегрирование тригонометрических функций. Основные подстановки. Универсальная тригонометрическая подстановка.
9. Интегрирование иррациональных функций (рациональные выражения, содержащие корни из линейной функции).
10. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
11. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о пройденном пути).
12. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл интеграла, примеры.
13. Необходимое условие существования определенного интеграла.
14. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Критерий интегрируемости.
15. Равномерная непрерывность функции (определение, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке).
16. Классы интегрируемых функций (непрерывные, монотонные функции).
17. Свойства определенного интеграла.
18. Интегрируемость кусочно-непрерывной функции.
19. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
20. Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
21. Формула Ньютона-Лейбница. Связь понятий определенного и неопределенного интеграла.
22. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
23. Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.
24. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.
25. Нахождение объема тела вращения.
26. Понятие спрямляемой кривой и нахождение длины плоской кривой.
27. Вычисление площади боковой поверхности фигуры вращения.
28. Физические приложения определенного интеграла (вычисление пути, массы стержня и работы силы).
29. Несобственный интеграл I рода. Свойства и методы вычисления.
30. Несобственный интеграл II рода. Свойства и методы вычисления.
Семестр 4
1. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд.
2. Теорема об остатках числового ряда. Положительные ряды.
3. Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда.
4. Теоремы сравнения.
5. Признак Коши сходимости числового ряда.
6. Признак Даламбера сходимости числового ряда.
7. Интегральный признак сходимости положительного ряда.
8. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.
9. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа.
10. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
11. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса.
12. Степенные ряды. Теорема Абеля.
13. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
14. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора.
15. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.
16. Теорема о покоординатной сходимости в Rn .
17. Предел функций многих переменных в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне.
18. Непрерывность функций нескольких переменных в точке и на множестве.
19. Теорема о сохранении знака непрерывной функции нескольких переменных в окрестности точки.
20. Теорема о непрерывности сложной функции нескольких переменных.
21. Теорема о достижимости точных граней функции нескольких переменных на компакте. Теорема о достижимости промежуточных значений функции многих переменных на связном множестве.
22. Дифференциал функции нескольких переменных. Эквивалентное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.
23. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных.
24. Частные производные и частные дифференциалы. Теорема о существовании частных производных дифференцируемой функции. Единственность дифференциала.
25. Достаточные условия дифференцируемости. Непрерывно дифференцируемые функции.
26. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
27. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.
28. Формула Тейлора.
29. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия существования.
30. Достаточные условия существования экстремумов функции нескольких переменных.
31. Понятие двойного интеграла Римана. Геометрический смысл двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции.
32. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для прямоугольной области.
33. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для произвольной квадрируемой области.
34. Основные свойства двойного интеграла.
35. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике.
36. Определение криволинейного интеграла по координатам; его свойства. Методы его вычисления.
37. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода. Понятие ориентированной области.
38. Необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
39. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.
4.5. Типы задач для подготовки к практической части экзамена.
1. Переформулировать на математическом языке текстовую задачу по дисциплине, (напр., задачу с геометрическим смыслом производной, задачу поиска экстремального значения функции и др.).
2. Для задач из различных разделов МА предложить и обосновать возможные пути нахождения решения (напр., вычисление пределов последовательностей и функций, вычисление интегралов, нахождение экстремальных значений функций, установление сходимости рядов и др.).
3. Выделить общую структуру в предложенных нескольких задачах МА; сформулировать и обосновать типовой способ построения их решения.
4. Построить блок-схемы доказательства теорем из МА; построить блок-схемы основных дидактических единиц курса.
5. Сформулировать физический и геометрический смысл основных понятий МА (напр., функции, производной и дифференциалов первого и второго порядков, определенных интегралов однократных, двойных, тройных), привести примеры соответствующих физических, механических и геометрических задач.
6. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные понятия и определения из предложенного раздела МА, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами;
7. Сформулировать (в устном и/или письменном виде) основные утверждения из предложенного раздела МА, указать логические взаимосвязи между ними, проиллюстрировать примерами.
8. Провести доказательство и/или составить блок-схему доказательства (в устном и/или письменном виде) указанных утверждений из выбранного раздела МА, проиллюстрировать примерами; выделить логические взаимосвязи этих утверждений с другими в курсе МА.
9. На необходимом уровне строгости дать обоснование решения предложенной задачи из курса МА; провести анализ возможных особых (предельных) случаев; дать графическую иллюстрацию и содержательную интерпретацию решения;
10. Решить прикладные задачи с использованием дифференциального и интегрального исчислений (вычисление площадей фигур, объемов тел, физических и механических величин и др.); дать содержательную интерпретацию полученного решения.
5. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по дисциплине
См. Приложение 1.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1. Рекомендуемая литература
Основная
1. | Бохан математического анализа [Текст] : учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , , ; под. ред. . – Минск : Интеграл. Т.1. 2004. – 435 с. | 110 экз |
2. | Курс математического анализа [Текст] : учеб. пособие для вузов / -Крикоров, . - М. : Бином : Лаб. знаний, 2009. - 672 с. | 22 |
3. | Сборник задач по математическому анализу / , , . - М. : ФИЗМАТЛИТ Т.1 : Предел. Непрерывность. Дифференцируемость.- 2003 .- 495с. | 20 |
4. | Сборник задач по математическому анализу / , , . - М. : ФИЗМАТЛИТ Т.2 : Интегралы. Ряды.- 2003 .- 502с. | 20 |
5. | Сборник задач по математическому анализу / , , . - М. : ФИЗМАТЛИТ Т.3 : Функции нескольких переменных .- 2003 .- 472с. | 20 |
6. | Основы математического анализа : В 2 ч. / . - СПб. : 1 .- 2005 .- 448с. | 97 |
7. | Основы математического анализа : В 2 ч. / . - СПб. : Лань Ч.2 .- 2005 .- 464с. | 100 |
Дополнительная
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
