Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 5 )

60.  Найдите ошибку в следующем «доказательстве» теоремы Коши:

Пусть функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Тогда каждая из них будет удовлетворять и условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, для каждой из них можно записать формулу Лагранжа:

где ,

где .

Разделив первое равенство на второе, и проведя сокращение, получим:

где

что и требовалось доказать.

61.  Объясните, почему теорема Коши неприменима для функций и на отрезке . Применима ли эта функция на отрезке ?

62.  Выясните, всегда ли будет существовать такая точка , что , если функция удовлетворяет всем условиям теоремы Роля, кроме одного из следующих:

а) функция непрерывна на отрезке ;

б) функция имеет во всех точках интервала конечную или определенного знака бесконечную производную.

63.  Выясните, являются ли условия теоремы Ролля необходимыми и достаточными для того, чтобы существовала такая точка , что ?

64.  Объясните, почему для раскрытия неопределенностей при правило Лопиталя не требует, чтобы обязательно существовали производные и в самой точке .

65.  Известно, что предел отношения производных не существует. Можно ли утверждать, что предел отношения самих функций , представляющих неопределенность вида или , также не существует? Ответ обоснуйте.

66.  Объясните, почему предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя. Вычислите этот предел.

67.  В каком случае остаточный член в формуле Тейлора тождественно обращается в нуль (при некотором n)?

68.  Объясните, почему правую часть в формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа нельзя назвать многочленом степени (если не многочлен)?

69.  Выясните, следует ли из возрастания функции на интервале , что также возрастает на интервале ?

70.  Объясните, в чем заключается отличие между понятиями «точка экстремума функции» и «экстремум функции».

71.  Установите истинность или ложность следующих высказываний:

а) значение максимума некоторой функции может оказаться меньше, чем значение минимума этой же функции;

б) монотонная функция может иметь экстремум;

в) функция, имеющая максимум (минимум), может не иметь наибольшего (наименьшего) значения;

г) функция, имеющая наибольшее (наименьшее) значение, может не иметь максимума (минимума);

д) если функция слева от точки убывает, а справа возрастает, то точка является точкой минимума этой функции.

72.  Установите истинность или ложность следующих высказываний:

а) точка перегиба функции может быть точкой экстремума функции;

б) всюду выпуклая (вогнутая) функция может иметь больше одного экстремума;

в) между двумя точками экстремума лежит хотя бы одна точка перегиба;

г) между точками перегиба функции может и не быть точек экстремума;

73.  Докажите утверждения:

а) каждый многочлен нечетной степени имеет хотя бы одну точку перегиба;

б) каждый многочлен четной степени с положительными коэффициентами не имеет точек перегиба.

74.  Выясните, при каком условии точка, в которой кривая вогнута (выпукла), является точкой экстремума функции.

75.  Приведите пример такой дифференцируемой функции , , что:

а) ее график имеет асимптоту при , но не существует;

б) ее график не имеет асимптоты при , но существует.

76.  Объясните, почему график ограниченной функции, заданной на ограниченном промежутке, не может иметь асимптот? Может ли иметь асимптоты и какие график ограниченной функции? Может ли иметь асимптоты и какие график функции, заданной на ограниченном промежутке?

77.  Выясните, может ли кривая, приближаясь к своей асимптоте, бесконечно много раз пересекать ее?

78.  Объясните, почему при последовательном уменьшении промежутка, содержащего корень (при комбинированном методе хорд и касательных), можно нижнюю его границу округлять только в сторону уменьшения, а верхнюю – только в сторону увеличения?

79.  Составьте блок-схему «Межпредметные связи по теме Производная функции». Проиллюстрируйте блок-схему примерами задач из соответствующих дисциплин.

80.  Дневной объем производства X (ед.) зависит от числа работников L как . Стоимость единицы продукции равна 10 у. е., а дневная заработная плата работника равна 5 у. е. Определите:

а) при каком числе работников прибыль будет наибольшей;

б) в каком из следующих случаев при увеличении числа работников от до прибыль возрастет:

1) ; 2) ;

3) 4) .

81.   

На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

82.  Пусть функция является первообразной функции на всей числовой оси. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) если – периодическая функция, то и – периодическая функция;

б) если – четная функция, то и – нечетная функция;

в) если – четная функция, то одна из ее первообразных – нечетная функция;

г) если – нечетная функция, то любая ее первообразная является четной функцией;