Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 11 )

14.  Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Критерий интегрируемости.

15.  Равномерная непрерывность функции (определение, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке).

16.  Классы интегрируемых функций (непрерывные, монотонные функции).

17.  Свойства определенного интеграла.

18.  Интегрируемость кусочно-непрерывной функции.

19.  Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

20.  Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.

21.  Формула Ньютона-Лейбница. Связь понятий определенного и неопределенного интеграла.

22.  Теорема о замене переменной в определенном интеграле.

23.  Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.

24.  Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.

25.  Нахождение объема тела вращения.

26.  Понятие спрямляемой кривой и нахождение длины плоской кривой.

27.  Вычисление площади боковой поверхности фигуры вращения.

28.  Физические приложения определенного интеграла (вычисление пути, массы стержня и работы силы).

29.  Несобственный интеграл I рода. Свойства и методы вычисления.

30.  Несобственный интеграл II рода. Свойства и методы вычисления.

Типовые задачи:

1.  Доказать, что функция является первообразной функции .

2.  Вычислить неопределенный интеграл методом замены.

3.  Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

4.  Вычислить определенный интеграл методом замены, методом интегрирования по частям.

5.  Решить задачу на геометрические приложения определенного интеграла.

6.  Решить задачу на физические приложения определенного интеграла.

7.  Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла первого или второго рода.

8.  Вычислить криволинейный интеграл первого или второго рода.

Модуль 7 Ряды

Вопросы к экзамену

1.  Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд.

2.  Теорема об остатках числового ряда. Положительные ряды.

3.  Необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда.

4.  Теоремы сравнения.

5.  Признак Коши сходимости числового ряда.

6.  Признак Даламбера сходимости числового ряда.

7.  Интегральный признак сходимости положительного ряда.

8.  Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.

9.  Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа.

10.  Свойства абсолютно сходящихся рядов.

11.  Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса.

12.  Степенные ряды. Теорема Абеля.

13.  Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

14.  Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора.

15.  Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

Типовые задачи:

1.  Доказать, используя определение, что числовой ряд сходится и найти его сумму.

2.  Исследовать числовой ряд (знакоположительный или знакочередующийся) на сходимость.

3.  Исследовать числовой ряд на абсолютную, условную сходимость.

4.  Найти предельную функцию функционального ряда.

5.  Найти область сходимости функционального ряда.

6.  Найти радиус и область сходимости степенного ряда.

7.  Разложить элементарную функцию в ряд Тейлора, Маклорена.

8.  Решить задачу на применение рядов для приближенных вычислений или выисления предела функции.

Модуль 8 Функции нескольких переменных

Вопросы к экзамену

1.  Теорема о покоординатной сходимости в Rn .

2.  Предел функций многих переменных в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне.

3.  Непрерывность функций нескольких переменных в точке и на множестве.

4.  Теорема о сохранении знака непрерывной функции нескольких переменных в окрестности точки.

5.  Теорема о непрерывности сложной функции нескольких переменных.

6.  Теорема о достижимости точных граней функции нескольких переменных на компакте. Теорема о достижимости промежуточных значений функции многих переменных на связном множестве.

7.  Дифференциал функции нескольких переменных. Эквивалентное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.

8.  Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных.

9.  Частные производные и частные дифференциалы. Теорема о существовании частных производных дифференцируемой функции. Единственность дифференциала.

10.  Достаточные условия дифференцируемости. Непрерывно дифференцируемые функции.

11.  Теорема о дифференцируемости сложной функции.

12.  Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.

13.  Формула Тейлора.

14.  Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия существования.

15.  Достаточные условия существования экстремумов функции нескольких переменных.

16.  Понятие двойного интеграла Римана. Геометрический смысл двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции.

17.  Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для прямоугольной области.

18.  Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному для произвольной квадрируемой области.

19.  Основные свойства двойного интеграла.

20.  Приложения двойного интеграла в геометрии и механике.

21.  Определение криволинейного интеграла по координатам; его свойства. Методы его вычисления.

22.  Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго рода. Понятие ориентированной области.

23.  Необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

24.  Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.

Типовые задачи:

1.  Найти предел функции двух переменных ил установить, что он не существует.

2.  Исследовать функцию двух переменных на непрерывность в данной точке.

3.  Найти частные производные функции многих переменных первого и второго порядка. Записать дифференциал функции.

4.  Исследовать на экстремумы функцию нескольких переменных.

5.  Найти наибольшее, наименьшее значение функции нескольких переменных в заданной области.

6.  Вычислить двойной или тройной интеграл по заданной области.

7.  Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

8.  Решить задачу на геометрические (физические) приложения двойного или тройного интеграла.

Примеры билетов экзамена за 1 семестр

Билет 1

1.  Понятие числовой последовательности. Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности.

2.  Даны функции и . Найти .

3.  Решите предложенную задачу несколькими способами. Обоснуйте каждый из них.

Найти предел функции: .

Билет 2

1.  Число е как предел последовательности .

2.  Доказать по определению Гейне предела функции, что .

3.  Проверьте предложенное решение задачи. При необходимости дополните его необходимыми теоретическими обоснованиями или исправьте ошибки.

Пример:

Примеры билетов экзамена за 2 семестр

Билет 1

1.  Дифференцирование параметрически заданных функций (производные высших порядков).

2.  Найдите угловой коэффициент касательной к линии в точке .

3.  Объясните, почему предел не может быть вычислен по правилу Лопиталя. Вычислите этот предел.

Билет 2

1.  Теорема Лагранжа.

2.  Вычислить производную функции: .

3.  Найдите ошибку в следующем «доказательстве» теоремы Коши:

Пусть функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Тогда каждая из них будет удовлетворять и условиям теоремы Лагранжа. Следовательно, для каждой из них можно записать формулу Лагранжа:

где , где .

Разделив первое равенство на второе, и проведя сокращение, получим:

где

что и требовалось доказать.