9. Нахождение промежутков возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости параметрически заданной функции.
10. Уточнение корней уравнения.
11. Графический метод решения уравнений.
12. Вектор-функция скалярного аргумента.
13. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.
14. Соприкасающаяся окружность и центр кривизны.
15. Эволюта и эвольвента.
16. Репер Френе и сопровождающий трехгранник.
17. Вектор-функция двух скалярных-аргументов.
18. Интегрируемость кусочно-непрерывной функции.
19. Нахождение массы и длины плоской кривой.
20. Вычисление работы силы.
21. Приближенное вычисление определенного интеграла.
22. Применение рядов к приближенным вычислениям.
23. Применение рядов к раскрытию неопределенностей.
24. Методы построения графиков функций двух переменных.
25. Равномерная непрерывность функции многих переменных на множестве.
26. Теорема о дифференцируемости неявных функций. Формула для вычисления производной функции, заданной неявно.
27. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.
28. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые.
4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения
1. Пределы числовых последовательностей.
2. Вычисление пределов функций, свойства непрерывных функций.
3. Техника дифференцирования. Исследование функций на экстремум. Построение графиков функций на основе дифференциального исчисления.
4. Методы вычисления неопределенных интегралов.
5. Определенный интеграл (методы вычисления, приложения).
6. Исследование сходимости числовых рядов. Степенные ряды и их свойства. Функциональные ряды.
7. Исследование функций многих переменных на безусловный и условный экстремумы.
8. Методы вычисления двойных интегралов и приложения. Криволинейные интегралы.
4.3. Примерные темы курсовых работ
1. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Кантора.
2. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности Вейерштрасса. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике.
3. Аксиоматическое построение множества действительных чисел с аксиомой непрерывности в виде существования «разделяющего» числа. Анализ методики изучения действительных чисел в школьной математике.
4. Рекуррентные последовательности и их пределы.
5. Гиперболические функции и их свойства.
6. Построение кривых, заданных в полярных координатах.
7. Построение кривых, заданных параметрически.
8. Предел функции в средней школе.
9. Понятие «непрерывность функции» в средней школе.
10. Контрпримеры в математическом анализе.
11. Интерполяционные многочлены и их применение.
12. Исследование свойств обратных функций в зависимости от свойств прямых функций (монотонности, ограниченности, непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости). Изучение обратных функций в средней школе.
13. Применение многочленов Бернштейна для разложения непрерывной функции в ряд многочленов.
14. Определенный интеграл в средней школе.
15. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.
16. Свойства определенного интеграла. Приложения интеграла в механике и физике.
17. Формула Тейлора с дополнительным членом в различных формах (Пеано, Лагранжа и др.). Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
18. Экстремальные задачи.
19. Интеграл Римана - Стильтьеса, его свойства и приложения.
20. Интегралы, зависящие от параметра. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов.
21. Задачи линейного программирования и симплекс-метод. Задача о рационе.
22. Методы решения задач на условный экстремум для функций одной и нескольких переменных.
23. Экстремум квадратичных функций на полиэдральных множествах.
24. Теоремы отделимости и опорные функции множеств.
25. Элементы теории матричных игр.
26. Аддитивные функции промежутка и теория интегрирования.
27. Бета и гамма функции (Эйлеровы интегралы), формула Стирлинга, приложения.
28. Признаки сходимости положительных рядов (Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и др.).
29. Принцип сжатых отображений и его применение в математическом анализе и алгебре.
30. Свойства отображений метрических пространств, непрерывность на компактных множествах.
31. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических.
32. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах.
33. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
34. Использование понятия определенного интеграла в экономике.
35. Исследование функций, характеризующих экономические явления и процессы (изокванта, изокоста, линия безразличия, функция полезности, функция спроса, функция предложения и др.) методами дифференциального исчисления).
36. Применение дифференциального исчисления при исследовании эластичности спроса и предложения, для определения максимальных чистых выгод, для анализа потребительского поведения и др.
37. Поиск экстремума функции нескольких переменных при определении прибыли, при оптимизации прибыли, при оптимизации распределения ресурсов.
38. Применение интегрального исчисления в модели Лоренца концентрации доходов.
39. Поверхностные интегралы и их приложения.
4.4. Вопросы для подготовки к теоретической части экзамена
Семестр 1
1. Аксиоматика множества действительных чисел. Модуль действительного числа, его свойства.
2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств.
3. Понятие функции (отображения). Основные свойства функций (понятия сюръекции, инъекции, биекции, сложной и обратной функции), примеры.
4. Числовые функции. Свойства числовых функций: ограниченность, монотонность, четность и нечетность. График функции и геометрическая иллюстрация основных свойств. График обратной функции.
5. Периодические функции. Теоремы о свойствах периодов. Основной период. Примеры.
6. Построение графиков числовых функций методом преобразований.
7. Понятие числовой последовательности. Определение предела последовательности. Единственность предела последовательности.
8. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами. Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.
9. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности и их свойства.
10. Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
11. Теоремы о пределах монотонных последовательностей.
12. Определение числа е (теоремы о свойствах соответствующей последовательности).
13. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
14. Условие Коши для последовательностей и критерий Коши сходимости числовой последовательности.
15. Понятие подпоследовательности. Теорема Вейерштрасса.
16. Определение предела функции (по Коши). Единственность предела. Геометрический смысл предела. Случаи конечных и бесконечных пределов в конечной точке и в бесконечности.
17. Определения предела функции по Гейне, теорема об эквивалентности определений по Гейне и по Коши.
18. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.
19. Свойства функций, имеющих пределы, и свойства пределов, связанные с неравенствами.
20. Теорема о замене переменной при вычислении предела.
21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теорема о их основных свойствах.
22. Теорема об арифметических свойствах пределов числовых функций.
23. Теорема о пределах монотонных функций.
24. Понятие односторонних пределов. Необходимое и достаточное условие существование предела функции.
25. Условие Коши для числовых функций. Критерий Коши существования предела.
26. Определение непрерывности функции в точке, геометрический смысл, примеры. Разрывные функции, классификация точек разрыва.
27. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность сложной функции.
28. Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
29. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней функции, непрерывной на отрезке.
30. Теорема Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Следствия теоремы Коши.
31. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.
32. Непрерывность элементарных функций (многочлены и рациональные функции, степенная функция с рациональным показателем).
33. Непрерывность элементарных функций (тригонометрические функции и обратные к ним).
34. Определение степени с произвольным вещественным показателем. Показательная функция, ее непрерывность.
35. Логарифмическая функция, непрерывность. Гиперболические функции.
36. Первый замечательный предел.
37. Второй замечательный предел и его следствия.
38. Сравнение функций, эквивалентные функции. Использование эквивалентных функций при вычислении пределов (примеры).
Семестр 2
1. Определение производной. Таблица производных (вывод формул производных элементарных функций, исходя из определения производной).
2. Геометрический, физический, экономический смысл производной.
3. Односторонние и бесконечные производные.
4. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости.
5. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
6. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Таблица производных.
7. Дифференцирование обратной функции.
8. Дифференцирование сложной функции.
9. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
