Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 6 )

83.  Приведите пример разрывной функции, для которой на всей числовой оси первообразная существует.

84.  Пусть и – непрерывные функции и . Верно ли, что ?

85.  Пусть и – непрерывные функции. Верно ли, что ?

86.  Объясните, почему функции и имеют одинаковые производные (аналогично и ).

87.  Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек в этих частях.

88.  Объясните, почему в определении определенного интеграла вместо условия (то есть длина наибольшего отрезка разбиения стремится к нулю) нельзя потребовать (неограниченного увеличения количества промежутков разбиения)?

89.  Докажите следующие утверждения:

а) всякая монотонная на отрезке функция интегрируема на нем;

б) если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем;

в) пусть функция непрерывна на полуинтервале и существует конечный предел , тогда при любом доопределении функции в точке полученная функция будет интегрируема на отрезке и значение интеграла от нее не зависит от значения функции в точке а.

90.  Приведите пример:

а) не интегрируемой на отрезке функции, квадрат которой интегрируем на этом отрезке;

б) функции, непрерывной в точке, и не интегрируемой ни на каком отрезке, содержащем эту точку.

91.  Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) всякая функция, абсолютная величина которой интегрируема на некотором отрезке, также интегрируема на этом отрезке;

б) если функция интегрируема на некотором отрезке и не обращается на нем в нуль, то на этом отрезке всегда будет интегрируема функция .

92.   

	На рисунке изображён график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где  — одна из первообразных функции .
	93.  На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

94.  Рассмотрим интеграл . Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница дает: . Но это невозможно, так как интеграл от неотрицательной функции неотрицателен. Объясните, почему произошла ошибка.

95.  Найдите ошибку при вычислении интеграла .

. Отсюда: , то есть .

96.  При вычислении интеграла применим подстановку . Новые пределы интегрирования находим из равенств и . Получаем Можно ли в качестве пределов для t взять числа ?

97.  Вычислим интеграл двумя способами.

Способ 1. Непосредственное использование формулы Ньютона-Лейбница.

.

Способ 2. Метод подстановки. Используем подстановку тогда . Найдем новые пределы интегрирования: . Получаем:

.

Найдите ошибку и объясните причину ее появления.

98.  Докажите следующие утверждения:

а) если непрерывная на функция в точках, симметричных относительно точки принимает равные значения, то ;

б) для любой непрерывной на отрезке функции имеет место равенство .

99.  Пусть . Покажите, что и объясните, почему интеграл не равен .

100.  Составьте блок-схему «Межпредметные связи по теме Определенный интеграл». Проиллюстрируйте блок-схему примерами задач из соответствующих дисциплин.

101.  Составьте блок-схему, иллюстрирующую исследование на сходимость знакоположительного ряда.

102.  Составьте блок-схему, иллюстрирующую исследование на сходимость произвольного числового ряда.

103.  Перечислите способы нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

104.  Поясните, в чем заключается разница между понятиями «область сходимости» и «интервал сходимости» степенного ряда.

105.  Проведите сравнительный анализ изучения темы «Предел функции одной переменной» и «Предел функции многих переменных»

106.  Проведите сравнительный анализ изучения темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функции многих переменных».

107.  Проведите сравнительный анализ изучения тем «Определенный интеграл», «Двойной интеграл», «Криволинейный интеграл 1 рода» и «Криволинейный интеграл 2 рода» (определение, свойства, условия существования).

3.6.  Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах

Все практические занятия проводятся в активной форме с включением интерактивных фаз проведения занятия.

4.  перечень учебно-методического обеспечения

для самостоятельной работы обучающихся по
дисциплине

4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения

1.  Построение графиков функций методом преобразований графиков элементарных функций (растяжение, сдвиг, параллельный перенос, операции взятия модуля).

2.  Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

3.  Равномерная непрерывность функции (определение, теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке).

4.  Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция.

5.  Формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано).

6.  Вычисление предела функции с помощью формулы Тейлора.

7.  Мера Жордана на плоскости. Свойства измеримых фигур.

8.  Нахождение асимптот параметрически заданной функции.