Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Уральский государственный педагогический университет»
Институт математики, информатики и информационных технологий

Кафедра высшей математики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«Б1.В. ОД.12 – Математический анализ»

для ОПОП «44.03.01 – Педагогическое образование. Профиль Математика»

Екатеринбург 2016

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ»

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»

Екатеринбург, 2016. – 59 с.

Составитель , к. пед. н., доцент кафедры высшей математики

(подпись)

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры высшей
математики УрГПУ

Протокол от 04.02.16 г. № 5.

Зав. кафедрой (подпись)

Руководитель учебного подразделения

(подпись)

1.  ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.1.  Наименование дисциплины: «Математический анализ»

1.2.  Цели и задачи дисциплины.

Цели изучения дисциплины «Математический анализ»

Формирование общекультурных и профессиональных компетенций студентов, обучающихся по направлению 44.03.01 – Педагогическое образование. Профиль Математика», на основе изучения дисциплины

Достижение поставленной цели осуществляется путем решения следующих задач:

·  формирование у студентов системы представлений о понятиях и фактах дисциплины «Математический анализ»;

·  формирование у студентов системы представлений о методах математического анализа и возможностях их применения;

·  формирование представлений о важности (необходимости) изучения дисциплины для осуществления будущей профессиональной деятельности;

·  воспитание профессионально значимых личностных качеств студентов.

1.3.  Место дисциплины в структуре ПрОП

Дисциплина «Математический анализ» является дисциплиной цикла Б.1, вариативная часть

Для изучения дисциплины «Математический анализ» студент должен:

Знать

·  основные элементарные функции, их свойства и графики;

·  методы решения уравнений, неравенств и их систем;

·  основные формулы, используемые для преобразования алгебраических и трансцендентных выражений;

·  различные методы доказательства математических утверждений.

Уметь

·  работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию),

·  точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики,

·  решать задачи базового уровня сложности школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии.

·  проводить логические обоснования математических утверждений.

Владеть:

·  навыками устных и письменных вычислений, преобразований алгебраических и трансцендентных выражений.

·  навыками представления информации;

·  навыками интерпретации информации в различных формах ее представления.

Дисциплина «Математический анализ» является предшествующей для изучения следующих дисциплин подготовки бакалавра по направлению «44.03.01 –Педагогическое образование. Профиль Математика»

·  Теория функций комплексного переменного.

·  Теория функций действительного переменного.

·  Дифференциальные уравнения.

·  Теория вероятностей и математическая статистика.

·  Курсы по выбору студента.

1.4.  Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, соотнесенных с планируемыми результатами освоениями образовательной программы.

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетен-ций студентов

Общекультурные компетенции

ОК-3 – Способность использовать естественно-научные и математические знания для ориентации в современном образовательном пространстве.

Профессиональные компетенции

ПК-1 – Готовность реализовывать образовательные программы по учебному пред-мету в соответствии с требованиями образовательных стандартов

ПК-11 – готовность использовать систематизированные и практические знания для постановки и решения исследовательских задач в области образования

1.5.  Объем дисциплины в зачетных единицах.

Согласно учебному плану курс «Математический анализ» на очном и заочном отделениях изучается бакалаврами на 1 и 2 курсах в 1-4 семестрах, формы контроля – экзамены во 2 и 4 семестрах, зачет – в 3 семестре. На изучение курса отводится 504 учебных часа, в т. ч.

На очном отделении: 242 уч. ч. аудиторных занятий и 208 уч. ч. самостоятельной работы студентов (СРС), 54 ч - контроль. Аудиторные занятия включают 100 уч. ч. лекций и 142 уч. ч. практических занятий.

На заочном отделении: 36 уч. ч. аудиторных занятий и 446 уч. ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 14 уч. ч. лекций и 22 уч. ч. практических занятий. Контроль – 22 уч. ч.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 14 зачетных единиц.

1.6.  Особенности реализации дисциплины.

Дисциплина «Математический анализ» реализуется на русском языке.

2.  УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего (в т. ч. в интерактивной форме)	Лекции	Практические
1.	Действительные числа и их свойства	18	10	4	6	8
2.	Функции и их свойства	26	14	6	8	12
3.	Числовые последовательности. Предел последовательности	28	16	8	8	12
4.	Предел функции. Непрерывность функции	72	38	16	22	34
5	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	82	44	20	24	38
6	Интегральное исчисление функции одной переменной	82	44	20	24	38
7	Ряды	52	28	10	18	24
8	Функции нескольких переменных	90	48	16	32	42
	Итого с учетом контроля	504	242	100	142	208

2.2. Учебно-тематический план заочной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего трудоемкость	Аудиторные занятия	Самостоятельная работа
Всего (в т. ч. в интерактивной форме)	Лекции	Практические
1.	Действительные числа и их свойства	18	1	1		17
2.	Функции и их свойства	26	3	1	2	23
3.	Числовые последовательности. Предел последовательности	28	4	2	2	24
4.	Предел функции. Непрерывность функции	72	6	2	4	66
5	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	82	6	2	4	76
6	Интегральное исчисление функции одной переменной	82	6	2	4	76
7	Ряды	52	4	2	2	48
8	Функции нескольких переменных	90	6	2	4	84
	Итого с учетом контроля	504	36	14	22	446

3.  СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

3.1.  Структурированное содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы)	Содержание раздела
1	Действительные числа и их свойства	Действительные числа и числовая прямая. Модуль действительного числа и его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств.
2	Функции и их свойства	Понятие функции, числовые функции. Способы задания функции. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Ограниченные, монотонные, четные и нечетные, периодические функции и их свойства. Элементарные функции
3	Последовательности. Пределы последовательностей	Числовые последовательности и способы их задания. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число e. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Частичные пределы. Критерий Коши сходимости последовательности.
4	Предел функции. Непрерывность функции	Определения предела функции по Коши и Гейне, их эквивалентность. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Свойства пределов функции: а) локальные свойства функции, имеющей предел (ограниченность функции, имеющей конечный предел; знак функции в окрестности; ограниченность функции 1/g(x)); б) свойства пределов, связанные с неравенствами; в) свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Монотонная функция и ее предел. Критерий Коши существования предела функции. Первый замечательный предел и следствия из него. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование для вычисления пределов функции Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на отрезке. Непрерывность функции в точке слева и справа. Непрерывность функции на числовом промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность непрерывной функции, достижимость точных граней, теорема о промежуточных значениях. Непрерывность сложной функции. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Использование непрерывности функций при вычислении пределов
5.	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	Производная и дифференциал Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Односторонние и бесконечные производные. Таблица производных. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала. Использование дифференциала функции для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие. Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования функции и построение графика функции. Понятие математической модели.
6	Интегральное исчисление функции одной переменной	Неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства. Основные задачи, приводящие к понятию первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Методы интегрирование: интегрирование заменой (подстановкой) переменной и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, тригонометрических функций, иррациональных функций. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о пройденном пути). Необходимое условие существования определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов с помощью подстановки и по частям. Приложения определенного интеграла. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат. Нахождение массы и длины плоской кривой. Нахождение объема тела. Вычисление работы силы. Несобственные интегралы, их свойства и вычисление.
7	Ряды	Числовые ряды Основные определения теории числовых рядов. Свойства сходящихся рядов. Геометрический и гармонический ряды. Необходимое условие сходимости. Основные свойства сходящихся рядов. Знакоположительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости знакоположительного ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Необходимый и достаточный признак сходимости произвольного ряда. Степенные ряды Понятие функционального ряда. Интервал и область сходимости функционального ряда. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Теорема об интервале сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
8	Функции нескольких переменных	Предел и непрерывность функции двух переменных. Предел последовательности точек на плоскости. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Предел функции нескольких переменных (ФНП). Непрерывность функции двух переменных в точке и в области. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса. Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Производные сложных ФНП. Полный дифференциал ФНП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков. Неявные функции. Производная по направлению и градиент. Приложения дифференциального исчисления ФНП. Формула Тейлора для функции двух переменных. Касательная к плоской кривой. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Наибольшие и наименьшие значения функции двух переменных в области. Двойные и тройные интегралы. Условия существования двойного интеграла. Основные свойства двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл и его вычисление. Криволинейные интегралы. Понятие криволинейного интеграла первого (по длине дуги) и второго (по координатам) типов. Основные свойства криволинейных интегралов. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов.

3.2.  Перечень тем лекционных занятий