Рабочая программа дисциплины «Б1.В. ОД.12 – Математический анализ» (стр. 4 )

42.  Из данной последовательности выделена расходящаяся подпоследовательность. Можно ли утверждать, что сама последовательность также расходится? Ответ объясните.

43.  Объясните, почему из непрерывности функции справа и слева в точке следует ее обычная непрерывность, в то время как из существования односторонних односторонних пределов функции не следует существование обычного предела?

44.  Докажите, что разрыв функции в точке устранить невозможно.

45.  Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция. Проверьте этот факт на примере

46.  Проверьте, верно ли утверждение: «если в некоторой точке функция непрерывна, а функция разрывна, то их сумма является разрывной в точке »

47.  Верно ли утверждение: «если функции и имеет разрыв в точке , то их сумма есть также разрывная функция в точке ». Проверьте это утверждение на примере, рассмотрев функции:

48.  Если функция непрерывна в интервале и определена на его концах и , то из этого еще не следует, что она непрерывна на отрезке . Убедитесь в этом на примере функции:

49.  Функция определена, непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка имеет значения одного знака. Можно ли утверждать, что на нет такой точки, в которой функция обращается в нуль? Подберите соответствующий пример.

50.  Объясните, какой смысл имеет знак минус у производной, если последнюю рассматривать как скорость?

51.  Покажите, что производная четной функции есть функция нечетная, а производная нечетной функции есть функция четная.

52.  Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) если функция имеет производную в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке;

б) если функция непрерывна в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

53.  Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) если функция имеет, а функция не имеет производной в некоторой точке , то функция не имеет производной в этой точке;

б) если функции и не имеют производной в некоторой точке , то и функция не имеет производной в этой точке;

в) если функция имеет, а функция не имеет производной в некоторой точке , то функция не имеет производной в этой точке;

г) если функции и не имеют производной в некоторой точке , то и функция не имеет производной в этой точке.

54.  Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) если для дифференцируемых на интервале функций и верно неравенство , то на интервале ;

б) если на интервале верно неравенство , то на интервале ;

в) если и на интервале , то на интервале .

55.  Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция имела на этом интервале монотонную производную, необходимо, чтобы была монотонна на ;

б) для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция имела на этом интервале монотонную производную, достаточно, чтобы была монотонна на ;

56.  Дано утверждение: «Для того, чтобы дифференцируемая функция имела периодическую производную, необходимо, чтобы функция была периодической».

а) установите истинность или ложность этого утверждения;

б) постройте обратное ему утверждение, установите его истинность или ложность;

57.  Установите истинность или ложность следующих высказываний:

а) если функция дифференцируема на интервале и , то ;

б) если функция дифференцируема на интервале и, то ;

в) если функция дифференцируема на интервале и существует, то существует и ;

г) если функция дифференцируема на интервале и существует , то существует конечный или бесконечный .

58.   

Три велосипедиста А, В и С двигаются прямолинейно в течение 4 часов. На рисунке изображены графики скоростей велосипедистов А и В (в км/ч). График скорости велосипедиста А состоит из отрезков прямых, а график скорости велосипедиста В – из участков парабол с вершинами в точках  и .  Скорость велосипедиста С задана уравнением . Найдите: а) сумму скоростей велосипедистов А и В в момент времени ч.; б) сумму ускорений велосипедистов В и С в момент времени ч.

59.  Покажите, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.