Компьютерные технологии в экономической науке и практике (стр. 3 )

для

1.1.4  Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Система m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn имеет вид

Здесь и - заданные числа, которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

Для того, чтобы представить систему линейных уравнений в матричном виде коэффициенты при неизвестных представляют в виде матрицы

,

эта матрица называется матрицей системы.

Свободные члены и неизвестные представляются в виде матриц – столбцов

В матричной форме система линейных уравнений записывается в виде А х Х = В.

В частном случае, когда число уравнений в системе (m) равно числу неизвестных (n), т. е. m=n, то решение такой системы можно найти методом обратной матрицы в виде X=A-1 х B,

где A-1 –матрица, обратная по отношению к матрице А.

Технологию решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы рассмотрим на примере.

Пример 6. 

Система уравнений задана матрицами: .

Требуется решить заданную систему линейных уравнений.

Решение:

1.  Присвоим диапазону А3:B4 имя (например А) и введем в ячейки значения элементов матрицы А.

2.  Присвоим диапазону D3:D4 имя (например В) и введем значения элементов вектора В.

3.  Выделим область F3:F4 для помещения результата решения системы и введем в него формулу =МУМНОЖ(МОБР(А);В) (рис. 7).

4.  Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>, в ячейках диапазона F3:F4 будет получен результат.

Рис. 7

Чтобы выполнить проверку полученных результатов достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является массив, содержащий такие же значения, как и вектор В.

При решении ряда задач в формулах удобно использовать ссылки на имена ячеек или диапазонов. Имя - это идентификатор. Область действия имени - вся рабочая книга. Для присвоения имени диапазону можно применить два приема:

1.  Выделить диапазон и в поле имени записать идентификатор.

2.  Выполнить команду меню ВСТАВКАð ИМЯ ðПРИСВОИТЬ. В открывшемся окне в поле ИМЯ ввести идентификатор имени, а в поле ФОРМУЛА записать адрес диапазона (лучше в виде абсолютного адреса. Для установки абсолютного адреса используйте клавишу F4).

Задание 6.   

1.  Решите системы линейных уравнений:

a) А= , b)

При решении используйте имена диапазонов. Выполните проверку решения.

2.  Найдите решения систем уравнений:

Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов

Технология решения систем линейных уравнений для случая, когда m=n, рассмотрена выше. Однако, в общем случае, m может быть не всегда равно n. Возможны три случая: m<n, m=n и m>n. При m<n, если система является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений.

В случае, если m>n и система совместна, то матрица А имеет по крайней мере m-n линейно независимых строк. В этом случае решение может быть получено отбором n любых линейно независимых уравнений и применением формулы X=A-1 х B. Однако, при решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий подход - метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения нужно умножить на транспонированную матрицу системы Ат:

АтАХ=АтВ

Затем обе части уравнения нужно умножить на (АтА)-1 . Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что
(АтА)-1 xАтА=Е, решение системы будет иметь вид Х=(АтА)-1 АтВ.

Рассмотрим технологию решения систем линейных уравнений методом наименьших квадратов на примере.

Пример 7.  Решить систему

Решение:

1.  Введем значения элементов матрицы А в диапазон рабочего листа (А2:B4).

2.  Введем значения элементов вектора В в ячейки рабочего листа, например D2:D4 (рис.7).

3.  Транспонируем исходную матрицу, для чего выделиим диапазон ячеек размерностью 3 х 2 (А6:C7), введем в него формулу

4.  =ТРАНСП(А2:В4)

5.  и нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> – в ячейках выделенного диапазона будут помещены элементы транспонированной матрицы.

6.  Вычислим произведение АТА, для чего выделим диапазон (А9:В10) и введем в него формулу

=МУМНОЖ(A6:C7;А2:В4).

7.  Вычислим произведение АТВ, для чего выделим диапазон из двух ячеек (Е6:Е7) и введем в него формулу =МУМНОЖ(А6:C7;D2:D4).

8.  Выделим диапазон (D9:E10), введем в него формулу =МОБР(А9:B10) для вычисления обратной матрицы (АТА)-1. Матрица существует, следовательно, исходная система определена.

9.  Для вычисления итогового результата – решения системы уравнений выделим диапазон (В12:В13) и введем в него формулу умножения матриц (АТА)-1 АТА (надо АТВ).

=МУМНОЖ(D9:E10;A9:B10).

и нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> - в ячейках диапазона В12:В13 будет получен результат решения системы.

Рис. 8

При достаточно хорошем навыке работы с мастером функций приведенную задачу можно решить без промежуточных вычислений, как это рассмотрено выше, а введя сразу все выражение для вычисления в строку формул, как это показано на рис. 9.

Рис. 9

Рассмотрим эту технологию более подробно на том же примере. Формула, которая дает решение системы Х=(АтА)-1 (АтВ) содержит две группы (заключенные в скобки), которые должны быть перемножены с помощью функции МУМНОЖ(параметр_1;Параметр_2). Параметр_1 в нашем случае сам является вычисляемым выражением (АтА)-1, параметр_2 также вычисляется (АтВ). При вводе формул, представляющих сложные выражения целесообразно придерживаться технологии, которая предлагается далее. Для решения задачи выполним действия:

1.  Выделим диапазон, в котором будет вычисляться результат, и, используя мастер функций, введем в него функцию МУМНОЖ, переведем курсор в поле массив2 диалогового окна “Аргументы функции” после чего щелкнем на кнопке fx, расположенной в левой части строки формул – окно “Аргументы функции” закроется, а в строке формул появится выражение =МУМНОЖ(;) (смвол ; разделяет друг от друга аргументы функции.

2.  Первый аргумент в нашем случае является обратной матрицей результата произведения матриц. Переведем щелчком курсор в поле первого аргумента и, используя список “Функции” (рис. 10), включим функцию МОБР и закроем окно “Аргументы функции” щелкнув на кнопке fx в левой части строки формул. При этом курсор остается в строке формул в поле аргумента функции МОБР.

3.  Аргумент функции МОБР в рассматриваемой задаче является произведением матриц. Используя список “Функции” включим функцию МУМНОЖ. Переведем курсор в поле массив2 диалогового окна “Аргументы функции” и укажем адрес массива, содержащего элементы матрицы А. Затем переведем курсор в поле переведем курсор в поле массив2 диалогового окна и используя список “Функции”, включим функцию ТРАНСП и в качестве ее аргумента укажем адрес массива, содержащего элементы матрицы А. Щелкнем на кнопке fx – окно “Аргументы функции” закроется.

4.  В строке формул установим курсор в область второго аргумента первой функции МУМНОЖ. Используя список “Функции” включим функцию МУМНОЖ. В поскольку второй аргумент не нужно вычислять, первую очередь укажем его - в поле массив2 введем адрес диапазона, в котором содержатся элементы вектора В.

5.  Переключим курсор в поле массив2 диалогового окна “Аргументы функции”, используя список “Функции” включим функцию ТРАНСП и в поле массив этой функции укажем адрес диапазона, в котором содержатся значения элементов матрицы А.

Запись формулы для решения системы уравнений методом наименьших квадратов завершена. Она имеет окончательный вид: =МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(A2:B4);A2:B4));МУМНОЖ(ТРАНСП(A2:B4);D2:D4))

6.  Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> - в ячейках выделенного диапазона будет результат решения системы.

Рис. 10

На первый взгляд приведенная процедура может показаться сложной и длительной. Однако, это кажется только на первый взгляд. При достаточном ее освоении значительно сокращается время решения и уменьшается вероятность ошибки.

Задание 7.  Решите в электронной таблице системы:

1.1.5  Применение в экономике

Применение технологии операций с матрицами для решения микроэкономических задач

Рассмотрим пример использования технологии линейных операций над матрицами на примере следующей экономической задачи.

Пример 8.  Предприятие ежесуточно выпускает четыре вида изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в таблице:

Вид изделия, Условный номер	К-во выпускаемых изделий, шт.	Расход сырья, кг/изд.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Стоимость изделия, ден. ед/изд.
	N	P	T	Ц
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	40

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.