Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 10 )

2.5 Вполне непрерывные (компактные) операторы

Определение 2.4. Пусть X – банахово пространство. Последовательность в X,  если    при  . Последовательность   слабо сходится к x в X, если для любого ЛНФ имеем  при  .

Замечание 2.4. В гильбертовом пространстве H понятие слабой сходимости можно переформулировать так:  , если имеем  (в силу теоремы Рисса-Фишера).

Определение 2.5. Линейный оператор T называется вполне непрерывным (или компактным) в области определения D, если  для любой слабо сходящейся  к f последовательности , где .

Таким образом, вполне непрерывный (компактный) оператор любую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся последовательность. Легко привести пример последовательности в счётно-мерном гильбертовом пространстве , которая сходится слабо, но не сходится сильно. Таким образом, тождественный оператор I, который переводит в , не вполне непрерывен.

Заметим, что при определении компактного оператора в линейном нормированном пространстве как правило говорят, что он переводит единичный шар в предкомпактное множество. Так как любая сильно сходящаяся последовательность является в то же время слабо сходящейся, то каждый вполне непрерывный оператор непрерывен, а в силу линейности также и ограничен.

Теорема 2.6.(Достаточное условие вполне непрерывности) Пусть T – линейный ограниченный оператор, определённый на всём сепарабельном гильбертовом пространстве H и отображающий H в себя. Пусть и – две полные ортонормированные системы в H. Предположим, что и ряд сходится. Тогда T вполне непрерывен. ■

Теорема 2.7. Пусть – измеримая область и ядро интегрального оператора

               (2.18)

интегрируемо с квадратом по Лебегу, т. е.

.                                 (2.19)

Тогда оператор T вполне непрерывен. ■

Замечание 2.5. Если, в частности, область D ограничена и замкнута, а ядро непрерывно в D, то условие (2.19) выполнено и оператор (2.18) вполне непрерывен.

Интегральный оператор W, рассмотренный в конце пункта 2.3 и встречающийся в краевых задачах для ОДУ, вполне непрерывен, так как входящая в него функция Грина непрерывна.

Функция Грина ДУ с частными производными также часто удовлетворяет требованию, выраженному соотношением (2.19).

Пример 2.8. Пусть – область плоскости Oxy с регулярной границей. Рассмотрим первую краевую задачу для дифференциального уравнения , где – действительная функция, в области D. Функция Грина имеет здесь вид (см. [12]): , где и .

Пример 2.9. Для дифференциального уравнения функция Грина имеет вид , где те же, что и в предыдущем примере. Ядро соответствующего интегрального оператора удовлетворяет условию (2.19).

2.6 Оценка остаточного члена для голоморфной функции

Пусть H – гильбертово пространство функций, голоморфных в единичном круге , непрерывных на его границе и принимающая действительные значения на отрезке , со скалярным произведением

.                         (2.20)

Далее, пусть Lf –линейный непрерывный функционал, который необходимо оценить. В численном анализе функционалами такого рода являются остаточные члены при вычислении квадратур, при интерполяции, приближённом дифференцировании и т. п. Например, остаточный член в формуле (1.11) предыдущего параграфа является таким функционалом:

.                 (2.21)

Таким функционалом будет также погрешность интерполяции вдоль сетки с интерполяционными весами :

.                                 (2.22)

При рассмотрении погрешности формулы дифференцирования бывает необходимо оценить функционал

                        (2.23)

Рассмотрим теперь формулу Коши, причём на окружности заменим комплексную переменную t длиной дуги s: . Получим

.

Поскольку функционал L линеен, непрерывен и ограничен, имеем

.

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца позволяет оценить:

.                 (2.24)

Будем использовать здесь норму

.                                 (2.25)

Вводя множитель , (2.24) можно переписать в виде

                                       (2.26)

Необходимо теперь установить наиболее удобную форму для .

Предположим, что в оператор L входят только интегрирование, дифференцирование, взятие значений функции в определённых точках и такие операции, которые при применении к геометрической прогрессии можно выполнять почленно: Степени образуют ортогональную систему относительно скалярного произведения (2.20), поэтому, принимая во внимание сделанное предположение, получаем