Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 2 )

Определение 1.4. Оператор T называется непрерывным, если из следует, что , где .

Определение 1.5. Оператор T называется положительным, если линейные псевдометрические пространства X и Y являются полуупорядоченными, и из следует, что .

Определение 1.6. Оператор T называется ограниченным, если найдется такой линейный непрерывный положительный оператор P, определённый в , что

  для .                 (1.1)

Замечание 1.1. В частном случае равенства следует, что . Если, кроме того, является линейным метрическим пространством, то L представляет собой поле действительных чисел, а P – действительное неотрицательное число.

Определение 1.7. Если – линейное метрическое пространство, а в качестве P выбрано наименьшее действительное неотрицательное число , для которого выполняется соотношение (1.1), то называется постоянной Липшица оператора T, или нормой оператора T: .

Для вычислительных целей полезно помнить, что норму нелинейного оператора часто можно существенно уменьшить, рассматривая сужение этого оператора на меньшую область определения.

При рассмотрении производных от операторов встречается понятие билинейного оператора T, определённого в метрическом пространстве. Такой оператор паре элементов (x, y) ставит в соответствие однозначно определённый элемент T(x, y) и называется билинейным, если он линеен относительно x и y. Этот оператор называется ограниченным, если найдётся такая постоянная C, что . Наименьшая постоянная C, обладающая этим свойством, называется нормой оператора T. В частности, в нормированном пространстве имеем . Точно так же вводятся мультилинейные операторы.

Теорема 1.1. Если X и Y – линейные псевдометрические пространства и T – ограниченный оператор, то T непрерывен.■

Теорема 1.2. Если X и Y – нормированные пространства и T – линейный непрерывный оператор, то T ограничен.■

Следствие 1.2. В нормированных пространствах из непрерывности линейного оператора следует его ограниченность, и наоборот.

1.2 Действия над операторами

В этом пункте предполагается, что используемые аргументы всегда принадлежат области определения соответствующего оператора, а расстояния всегда выбираются в подходящем полуупорядоченном линейном пространстве.

Произведение или композиция операторов и определяется следующим образом: . Если равенство имеет место для всех элементов x, то оператор называется перестановочным с оператором . Если и – ограниченные операторы в метрических пространствах, то

  .

Следовательно, произведение операторов также ограничено и

.

Если область значений U оператора T лежит в его области определения D, т. е. , то итерированный оператор данного оператора можно определить так: для , , I – тождественный оператор. Операторы и (для целых неотрицательных n, m) перестановочны и для них справедливо равенство . Если, кроме того, T – ограниченный оператор в метрическом пространстве, то .

Для рассмотрения суммы операторов, пусть и – два оператора с одной и той же областью определения , и пусть образы D относительно и лежат в одном и том же линейном пространстве Y. Тогда сумму можно определить как . Если, кроме того, и – ограниченные операторы в суперметрическом пространстве, то имеем

.

В таком случае оператор-сумма также ограничен и справедливо неравенство .

Если область значений U оператора T принадлежит его области определения D, то можно построить полином и формальный степенной ряд от оператора T: , где . Если – полиномы, то в случае линейного оператора T операторы и перестановочны; такие полиномы можно формально перемножать.

Теорема 1.3. Пусть T – ограниченный оператор в банаховом пространстве, , и область значений U оператора T принадлежит его области определения D. Пусть при представляет собой абсолютно сходящийся степенной ряд. Тогда в области D определён оператор , он ограничен и имеет место неравенство . Если , то .■

1.3 Обратный оператор

Определение 1.8. Если оператор задаёт взаимно однозначное отображение области определения D на область U, т. е. каждый элемент является образом единственного элемента , то существует обратное отображение такое, что ; оператор называется обратным к оператору T.