Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 4 )

1.5 Ограниченные обратные операторы

Теорема 1.6. (Об устойчивой обратимости) Пусть линейный (не обязательно ограниченный) оператор T в метрическом пространстве X имеет линейный ограниченный оператор . Пусть V – линейный ограниченный оператор в пространстве X такой, что . Тогда оператор также имеет линейный ограниченный обратный оператор , и если для существуют степени , то

.■                 (1.3)

Замечание 1.2. Теорему 1.6 можно применять при решении уравнений . С её помощью удаётся избежать трудоёмких вычислений оператора , если известен обратный оператор для "близкого" линейного оператора S. Оператор S должен быть таким, чтобы разность V удовлетворяла соотношению . В таком случае уравнение разрешимо относительно f  в виде и для ошибки с учётом (1.3) (оператор T заменяется на S) получаем

.                (1.4)

Пример 1.8. Если для линейной системы уравнений выполняется соотношение , то можно положить и . Уравнение имеет решение и из (1.4) получаем .

Пример 1.9. Пусть в рассмотренной выше системе элементы матрицы A размерности вычислены с точностью до ошибок округления, наибольшая из которых меньше . Пусть S – матрица, с которой фактически выполняются вычисления. Тогда определяется из уравнения . При этом, если норму взять в виде или , то и .

1.6 Обусловленность линейного ограниченного оператора

Определение 1.11. Пусть T – линейный ограниченный оператор и существует обратный (линейный) ограниченный оператор , причём операторы T и определены в нормированных пространствах. Тогда называется числом обусловленности оператора T.

Теорема 1.7. Пусть оператор T удовлетворяет предположениям Определения 1.11, и пусть v – приближённое решение операторного уравнения , где . Тогда с помощью числа обусловленности и дефекта приближения v можно следующим образом оценить "относительную погрешность" :

.                 (1.5)

Если, кроме того, известны оценки для нормы , то можно оценить и норму абсолютной погрешности .■

Замечание 1.3. Грубо говоря, чем меньше число обусловленности, тем лучших результатов следует ожидать при приближённом решении операторного уравнения. Однако следует помнить, что приведённое неравенство (1.5) даёт лишь границы погрешности, но не саму погрешность.

Из оценок (1.5) непосредственно следует ещё один результат.

Теорема 1.8. В условиях Теоремы 1.7 . При имеем (для ).■

1.7 Оценка погрешности итерационного метода

В линейном суперметрическом пространстве X пусть – линейные ограниченные (следовательно, непрерывные) операторы с областью определения и со значениями в X. Пусть и в операторном уравнении

                                       (1.6)

r – некоторый элемент пространства X.

Теорема 1.9. Пусть при указанных выше предположениях относительно оператора T к операторному уравнению (1.6) применяется общий итерационный метод , где начальный элемент . Пусть существует решение x уравнения (1.6) и . Тогда имеет место следующая оценка погрешности:

.                                 (1.7)

Доказательство. Предположим, что из последовательности известны элементы . Тогда для "приращения" и "погрешности" имеем соотношения

,

.  (1.8)

При сделанных предположениях, по Теореме 1.4, существует обратный оператор для оператора , и, согласно Теореме 1.5, имеем . Используя соотношения (1.8), получаем , откуда непосредственно следует оценка (1.7).■

Замечание 1.4. В частном случае получаем (вообще говоря, довольно грубую) оценку .

1.8 Теорема Банаха о последовательности операторов

Пусть – последовательность операторов с общей областью определения D, причём D принадлежит банахову пространству X, а значения операторов принадлежат банахову пространству Y.

Определение 1.12. Указанная последовательность операторов называется сходящейся, если последовательность является сильно сходящейся в Y для любого . Если , то в области D определяется предельный оператор T такой, что . Очевидно, что оператор T является линейным, если операторы линейны.