Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 6 )

Пример 1.12. В формулах Гаусса и выбираются так, чтобы приближение давало точное значение интеграла для полинома возможно более высокой степени. Значения можно найти с помощью нулей полиномов Лежандра. Числовые значения для и можно найти в работе [13]. В частности, формула Чебышева из Примера 1.11 для является одновременно формулой Гаусса. Можно доказать, что (см., например, [13]), так что применима Теорема 1.13, обеспечивающая сходимость приближений по формуле Гаусса для любой непрерывной на отрезке функции.

§ 2 Операторы в гильбертовых пространствах
2.1 Сопряжённый оператор

Пусть в предгильбертовом пространстве X на плотном множестве D определён оператор T, отображающий D в пространство X. Если имеются два таких элемента , что для всех

,                                        (2.1)

то полагают и называют оператор сопряжённым к T. При этом фиксированному g соответствует лишь один элемент , обладающий свойством (2.1). В самом деле, из равенства , справедливого для всех , следовало бы, что , откуда , поскольку множество D плотно в X. В частности, . Область определения оператора обозначим через , она всегда содержит 0.

Допустим, что сопряжённый оператор существует для некоторых элементов ,  и положим , тогда , поэтому , т. е. сопряжённый оператор линеен, а множество представляет собой линейное многообразие. Каждый линейный непрерывный оператор T, определённый во всём гильбертовом пространстве H и отображающий H в себя, имеет сопряжённый оператор . Действительно, скалярное произведение для любого фиксированного является линейным непрерывным функционалом, определённым на H, и по теореме Рисса-Фишера для него существуют однозначно определённый элемент , для которого выполняется равенство (2.1). Областью определения оператора также служит всё гильбертово пространство H.

Определение 2.1. Оператор называется самосопряжённым, если .

Определение 2.2. Оператор T называется замкнутым, если для любой последовательности из соотношения и следует, что и . Сопряжённый оператор всегда замкнут.

Для оператора построим сопряжённый оператор , тогда равенство справедливо для всех , то есть оператор является расширением оператора T. Кроме того, как сопряжённый оператор линеен; следовательно существует лишь для линейного оператора T.

Теорема 2.1. Пусть оператор T, определённый в множестве D гильбертова пространства H, имеет обратный оператор и сопряжённый оператор . Пусть, кроме того, существуют операторы и , имеющие одну и ту же область определения , и пусть множество D плотно в H. Тогда на имеет место равенство .■

Теорема 2.2. Пусть в гильбертовом пространстве H операторы S и T имеют сопряжённые и . Если существуют операторы ST и , то .■

Теорема 2.3. Пусть S и T – самосопряжённые операторы. Если оператор ST имеет сопряжённый, то ST является самосопряжённым, если и только если S и T перестановочны.■

Любой полином от самосопряжённого оператора T  также является самосопряжённым, и если существует обратный оператор , то он также самосопряжённый (здесь – тождественный оператор).

Если оператор T перестановочен со своим сопряжённым , то T называется нормальным оператором.

Если для оператора , для любых имеет место равенство , то T называется унитарным оператором.

Теорема 2.4. Любой унитарный оператор T является линейным и обладает обратным и сопряжённым . Оба последних оператора унитарны и имеет место равенство .■

Замечание 2.1. Унитарный оператор T сохраняет скалярное произведение, а, следовательно, норму элемента и расстояние между двумя элементами (т. е. является изометрическим). Норма унитарного оператора .

Теорема 2.5. Произведение двух унитарных операторов T, S есть унитарный оператор.■

Замечание 2.2. Унитарные операторы образуют группу по умножению, чего нельзя сказать о самосопряжённых операторах. Кроме того, .