Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 3 )

Обратный оператор линейного оператора является также линейным, т. к. из равенства по определению следует, что .

Определение 1.9. Элемент , удовлетворяющий равенству , называется нулевым решением оператора T. Если при этом , то называется нетривиальным нулевым решением.

Определение 1.10. Если имеется число и элемент такие, что , то x называется собственным элементом (собственной функцией) оператора T, а – собственным значением оператора T. Нетривиальное нулевое решение является собственным элементом, соответствующим собственному значению 0.

Теорема 1.4. (Об альтернативе) Пусть T – линейный оператор, переводящий линейное пространство X в себя. Тогда либо на области образов существует обратный оператор , либо оператор T имеет нетривиальное нулевое решение.■

Теорема 1.5.  Пусть A – линейный оператор в псевдометрическом пространстве X, и пусть ряд сходится для любого элемента . Тогда оператор обратим. Если, кроме того, оператор A непрерывен, то для всех . Далее, если X – метрическое пространство и , то .■

Если для двух операторов A, B существуют их произведение AB и обратные им операторы  , то для оператора AB также существует обратный и , так как .

1.4 Примеры операторов

Пример 1.1. Пусть T – квадратная матрица порядка . Оператор , является линейным непрерывным ограниченным оператором.

Пример 1.2. Пусть – ограниченная замкнутая область (компакт), . Пусть представляет собой пространство непрерывных в области D функций . В этом случае операторы , , где и n-мерный вектор представляют собой заданные непрерывные функции из , и, кроме того, значения вектора для всех принадлежат области D, являются линейными непрерывными операторами. Оператор определённый в пространстве , не линеен, но непрерывен и ограничен по норме ; для него справедливо равенство .

Пример 1.3. (Интегральные операторы в пространстве ) Пусть X – то же пространство, что и в Примере 1.2, область D измерима, а – некоторая фиксированная функция, определённая при . Определим интегральный оператор T (интеграл понимается в смысле Римана):

                                       (1.2)

Для расстояния , где – положительная непрерывная функция, определённая в области D, справедливо неравенство , где . Таким образом, T – линейный ограниченный непрерывный оператор. Если , то в качестве нормы функционала получаем при значение объёма области .

Пример 1.4. Интегральные операторы вида (1.2) встречаются в линейных задачах с граничными условиями, при этом ядро часто является функцией Грина. В нелинейных задачах с граничными условиями встречаются интегральные операторы вида , с фиксированной функцией , а также интегро-дифференциальные операторы T вида (1.16) [7].

Пример 1.5. Пусть X – пространство всех полиномов с коэффициентами, принадлежащими числовому полю K. Оператор T ставит в соответствие полиному f степени m полином . Полином P, как и в Примере 1.2, рассматривается в области D и используется стандартная норма. Оператор T нелинейный.  Так как , то он неограниченный, но непрерывный.

Пример 1.6. Примеры неограниченных операторов можно получить при помощи дифференцирования. Пусть – пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке функций и T – линейный оператор . Если норму взять , то функции при амплитуде и частоте имеют норму . Однако норма неограниченно возрастает при и фиксированном A.  Данный оператор также не является непрерывным, так как линеен. Из этого простого примера видно, что в приложениях могут  встречаться также неограниченные операторы. Поэтому часто пытаются описывать подобные задачи с помощью интегральных операторов (см. Пример 1.3), так как для ограниченных линейных операторов создана полная теория.

Пример 1.7. (Интегральные операторы в пространстве ). Пусть область D такая же, как и в Примере 1.2. В качестве X рассмотрим здесь пространство функций , интегрируемых с квадратом по Лебегу в области D. Пусть T – интегральный оператор вида (1.2), однако теперь интеграл понимается в смысле Лебега. Кроме того, пусть . Оператор T является линейным. Если скалярное произведение взять , то . Тогда, согласно неравенству Коши-Буняковского-Шварца, имеем . Следовательно, , т. е. оператор T ограничен и его норма . В силу линейности, оператор T также непрерывен.