Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 9 )

является дивергенцией, иными словами, существует функция , что

.                        (2.9)

Теперь можем найти выражения для и : для вектора

дивергенция имеет вид

.

Как показывают несложные вычисления, это совпадает с выражением (2.8), если положить . Следовательно,

является сопряжённым к L дифференциальным выражением.

Если в (2.9) функции u и v поменять местами и взять комплексное сопряжение, то соотношение покажет, что L – сопряжённое к дифференциальное выражение. Выясним, когда равно (если это так, то называется самосопряжённым дифференциальным выражением). Будем рассматривать только действительные области. Из сравнения коэффициентов при одинаковых функциях в выражении

получаем, что Второе условие есть следствие первого; значит , откуда получаем самосопряжённое выражение

.         (2.10)

В этом случае упрощается также и :

.                        (2.11)

В дальнейшем все величины предполагаются действительными.

Пусть область D измерима и имеет такую границу , для которой справедлива интегральная теорема Гаусса: на границе почти всюду определена внутренняя нормаль и для вектора с компонентами , принадлежащими пространству , имеет место формула

,                         (2.12)

где – элемент поверхности на , а – элемент объёма в области D. Предположим, что – самосопряжённое дифференциальное выражение вида (2.10), и применим к (2.9) теорему Гаусса (2.12):

.         (2.13)

На границе наряду с внутренней нормалью вводится "конормаль" (также внутренняя), определённая равенством

,                         (2.14)

где . Используя (2.11), получаем

,

а соотношение (2.13) переходит в формулу Грина

.                 (2.15)

       Далее, пусть на границе задано однородное граничное условие

                          (2.16)

где a и b – заданные функции точки. Множество функций u, принадлежащих пространству и удовлетворяющих граничному условию (2.16), образуют предгильбертово пространство X.  Это пространство является плотным подмножеством гильбертова пространства . Для двух функций интеграл по границе в выражении (2.15) равен нулю, и поэтому L – самосопряжённый оператор в пространстве X.

Теперь выясним, является ли самосопряжённый оператор L, заданный выражением (2.10), положительно определённым. Поскольку , где , получаем из соотношения (2.12)

                (2.17)

Учитывая (2.14), можно записать

Следовательно, если

1) матрица положительно определена в области D;

2) коэффициент в области D;

3) на границе справедливо равенство , т. е. в каждой граничной точке либо , либо ;

тогда оператор L будет положительно определённым, за исключением случая второй краевой задачи при В этом случае оператор положительно полуопределённый, интеграл (2.17) равен нулю для

Пример 2.7. В случае рассматриваемое дифференциальное выражение имеет вид

,

где – оператор Лапласа. В этом случае конормаль есть обыкновенная нормаль . Выражение (2.16) при даёт первую краевую задачу, при вторую краевую задачу, и при – третью краевую задачу. Если D – шар радиуса r, то можно положить , так что D переходит во всё пространство . В качестве пространства X можно выбрать предгильбертово пространство функций u, стремящихся в бесконечности к нулю не медленнее, чем , то есть так, что значения остаются ограниченными (пусть ). Тогда L – самосопряжённый оператор.

Наши рассуждения можно перенести и на дифференциальные операторы высших порядков, в частности, легко получить условия самосопряжённости для оператора , где – оператор Гамильтона, см. [12].