Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 11 )

                (2.27)

Таким образом, оценку остаточного члена можно выполнить по формуле (2.26), если известен остаточный член для случая, когда есть одночлен , при этом определяется формулой (2.27).

Для грубой оценки , если вычисление или точная оценка интеграла (2.25) затруднительны, можно использовать неравенство

.

Тогда

                        (2.28)

2.7 Оценка погрешности квадратуры, в которой не участвуют производные

В данном пункте мы представим способы оценки погрешностей для ряда известных квадратурных формул, которые хотя и пригодны только для голоморфных подынтегральных функций, однако обладают тем преимуществом, что они несложны и, в отличие от классических методов, не используют оценок высших производных.

Рассмотрим сначала совсем простой случай, а именно метод трапеций. Пусть отрезок разбит на n равных отрезков так что . В таком случае приближение интеграла имеет вид

Можно показать, если на отрезке не меняет знака, то

         (2.29)

где . Пусть и . Тогда для нечётных степеней p имеем , поскольку Для чётных p имеем ( при ), т. е. Таким образом, в (2.29) последний член не больше предпоследнего, т. е.

Формула (2.27) даёт

.

Для получаем .

Замечание 2.6. Этим методом можно оценивать и другие квадратурные формулы. Здесь мы приводим только результаты.

Квадратурная формула	Оценка для , – чётное	Оценка для при
Метод трапеций
Метод касательных
Метод Симпсона
Правило 3/8 (Ньютон)

Следующие примеры иллюстрируют простоту и удобство применения формулы (2.28) с использованием приведённой выше таблицы. Сравнение с обычными оценками погрешностей, где используются оценки для высших производных, проведённое в этих примерах, говорит о том, что оба метода дают величины одного порядка. То, что здесь формула (2.28) даёт лучшую оценку, зависит от примера. Бывают случаи, когда обычные оценки дают большую точность, чем (2.28).

Два  примера на метод трапеций (отрезок )

Функция
Обычная оценка
Оценка по (2.28)

Два  примера на метод Симпсона (отрезок )

Функция
Обычная оценка
Оценка по (2.28)

2.8 Основной принцип вариационного исчисления

Операторному уравнению