Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 5 )

Теорема 1.10. (С. Банах) Любая сходящаяся последовательность линейных непрерывных операторов , определённых на всём банаховом пространстве X и отображающих его в другое банахово пространство, является равномерно ограниченной, т. е. существует число такое, что

.■                                (1.9)

Теорема 1.11. Последовательность линейных непрерывных операторов , определённых на всём банаховом пространстве X и отображающих его на другое банахово пространство, является сходящейся тогда и только тогда, когда найдётся число K, для которого выполняется (1.9), и последовательность сходится на некотором плотном в X подмножестве M.

Доказательство. Требуется лишь показать, что приведённое условие является достаточным. Выберем в пространстве X произвольный элемент f. Поскольку M плотно в X, то для любого  найдётся такой элемент , что . Последовательность сходится, поэтому номер N, что для выполнено , . Отсюда .  А это и означает сходимость последовательности .■

1.9 Применение квадратурных формул

В банаховом пространстве непрерывных на отрезке функций с нормой построим для интеграла последовательность приближений

,                         (1.10)

где – заданные абсциссы (для фиксированного n):

,                                

и – заданные постоянные (веса). Тогда

,                                        (1.11)

где – остаточный член, или "поправка". В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема 1.12. Пусть для полинома степени, не превосходящей n, остаточный член в выражении (1.11) равен нулю: . Равенство имеет место для любой функции, непрерывной на отрезке , тогда и только тогда, когда существует такое число N, что

  .                         (1.12)

Доказательство. Операторы J, и представляют собой непрерывные линейные операторы в пространстве . Поскольку последовательность сходится для всех полиномов и множество полиномов плотно в , достаточно показать (см. Теорему 1.11), что нормы равномерно ограничены. Из соотношений (1.10) и (1.12) получаем , т. е. .■

Теорема 1.13. Пусть для полинома степени, не превосходящей n, остаточный член в выражении (1.11) равен нулю: . Если в (1.10) все веса , то равенство выполняется для любой функции, непрерывной на отрезке .

Доказательство. Для функции имеем , а потому . Таким образом, условие (1.12) выполняется для  .■

Применим Терему 1.13 для вывода некоторых известных квадратурных формул.

Пример 1.10. Формула Ньютона-Котеса получается при замене её интерполяционным полиномом  Лагранжа , который построен по узлам (для и ). В этом случае . Для получаем формулу трапеций: . При получаем формулу Симпсона: . Предположение для полинома степени, не превосходящей n, выполняется и в этом, и в двух следующих примерах.

В Примере 1.10 веса неотрицательны до включительно. При встречаются отрицательные веса, так что Теорему 1.13 применять нельзя. Вопрос о существовании подпоследовательности натуральных чисел, для которых веса отрицательны, но Теорема 1.13 применима, по-видимому, не исследован.

Однако известно, что формулы Котеса, вообще говоря, не дают сходимости для любой непрерывной на отрезке функции (контрпример принадлежит Д. Пойя, 1933). Но для функции , голомофной в некотором эллипсе комплексной плоскости, содержащем отрезок , сходимость имеет место.

Пример 1.11. В формуле Чебышева (см. [13]) узлы выбираются так, что все веса равны друг другу. Для , например, получаем , где . Здесь , но, к сожалению, не для всех n существуют такие формулы. До включительно значения можно найти, например, в работах [2,13]. При и не все действительны.