Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 8 )

Пример 2.6. Рассмотрим интегральный оператор T, заданный соотношением , здесь интеграл понимается в смысле Лебега. Сопряжённый оператор имеет вид . Оператор T самосопряжённый, если ядро эрмитово . Например, если ядро действительное и симметричное.

2.3 Дифференциальные операторы для функций одной   переменной

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений для дифференциального выражения рассматривают формально сопряжённое выражение . Здесь – функция, заданная на интервале (допускаются значения ) и k раз непрерывно дифференцируемая, причём . В таком случае для двух функций справедливо тождество Лагранжа

,                         (2.4)

где – билинейное выражение . Для скалярного произведения из (2.4) получаем

.                 (2.5)

Теперь рассмотрим линейные однородные граничные условия

                (2.6)

где – значения k-х производных при а ­– заданные постоянные. В качестве другой системы граничных условий для формально сопряжённого выражения берём

                (2.7)

Функции  из пространства , удовлетворяющие граничным условиям (2.6), соответственно (2.7), образуют линейное подпространство V, соответственно , гильбертова пространства (для дальнейшего достаточно, чтобы рассматриваемые пространства были предгильбертовыми). Эти подпространства плотны в гильбертовом пространстве. С помощью выражения каждой функции y подпространства V ставится в соответствие элемент ; это соответствие определяет оператор T: . Оператор T называется оператором, порождённым дифференциальным выражением L и граничными условиями (2.6). Точно так же можно определить оператор . Однако для того, чтобы оператор был сопряжённым к T в смысле пункта 2.1, необходимо, чтобы для двух функций , удовлетворяющих граничным условиям (2.6) и (2.7): , правая часть выражения (2.5) равнялась нулю:

Приведём некоторые результаты теории дифференциальных уравнений. Дифференциальное выражение Ly называется самосопряжённым, если . Каждое самосопряжённое дифференциальное выражение представляет собой сумму выражений вида , где – действительная функция из пространства . Таким образом, каждое действительное самосопряжённое дифференциальное выражение имеет вид с действительными функциями .

Оператор T, порождённый некоторым дифференциальным выражением и граничными условиями, может быть самосопряжённым только в том случае, если и операторы и эквивалентны (т. е. и являются линейными комбинациями друг друга).

Если n граничных условий (2.6) линейно независимы и задача

не имеет нулевого собственного значения, то существует непрерывная ограниченная функция Грина , с помощью которой строится интегральный оператор W, дающий решение краевой задачи

а именно:

Оператор W является обратным к оператору, порождённому дифференциальным выражением L и граничными условиями (2.6) , .

Если оператор T самосопряжённый, то в действительной области функция Грина симметрична , и в таком случае – линейный ограниченный самосопряжённый оператор.

2.4 Дифференциальные операторы для функций многих         переменных

Пусть

– дифференциальное выражение в частных производных для функции в некоторой области D пространства . При этом и c (для ) – заданные функции от . Кроме того, пусть . Нижние индексы означают частные производные от u, например,

.

Кроме того, мы используем следующее условное обозначение для суммы: если в каком-нибудь члене один и тот же латинский индекс встречается дважды, то это означает суммирование по нему от 1 до n, т. е.

Пусть функции . Дифференциальное выражение называется сопряжённым к L, если для двух функций разность

                                         (2.8)