Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 7 )

Замечание 2.3. Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой частный случай нормальных операторов.

Определение 2.3. Оператор T в гильбертовом пространстве H называется положительно (отрицательно) определённым, если (соответственно, <0) для всех из H. Оператор называется положительно (отрицательно) полуопределённым, если (соответственно, 0) для всех из H; в этом случае могут существовать такие элементы , что .

Если оператор T имеет сопряжённый и операторы T, , и определены во всём гильбертовом пространстве H, то операторы и положительно полуопределены; это видно из соотношений для и аналогичных соотношений для . Если к тому же оператор T имеет обратный, то оператор положительно определён. Если, в частности, T – самосопряжённый оператор, то оператор положительно полуопределён.

2.2 Примеры операторов

Пример 2.1. Пусть оператор T задаётся матрицей размерности , которая по формуле вектору x ставит в соответствие вектор b. Тогда для стандартного скалярного произведения имеем , т. е. сопряжённый оператор имеет матрицу . Такой оператор является сомосопряжённым тогда и только тогда, когда матрица A эрмитова, т. е. , или . Такими являются, в частности, действительные симметричные матрицы. Указанный оператор унитарен тогда и только тогда, когда унитарна матрица A, т. е. (единичная матрица). Таковы, в частности, действительные ортогональные матрицы. Наконец, такой оператор является нормальным тогда и только тогда, когда нормальна матрица A, т. е. .

Пример 2.2. Пусть H – пространство со скалярным произведением , где – заданная непрерывная действительная функция, ограниченная сверху и снизу положительными константами. Для оператора , где – фиксированная функция, сопряжённый оператор задаётся формулой . Если функция действительна в области D, то оператор T самосопряжённый. Если непрерывна, то для нормы оператора T получаем оценку .

Пример 2.3. Возьмём для то же скалярное произведение, что и в предыдущем примере, и пусть область . Пусть – фиксированный вектор, а T – оператор сдвига . Тогда . Поскольку , существует сопряжённый оператор , причём . Если функция допускает представление в виде то Таким образом, оператор T самосопряжён лишь в случае . Однако он нормален при любом , кроме того, при (например, в случае ) оператор сдвига унитарен.

Пример 2.4. Составим линейную комбинацию операторов из предыдущего примера

                        (2.2)

где – фиксированные векторы из , . При оператор (2.2) всегда нормален.

Как частные случаи рассмотрим разностный оператор и оператор усреднения

,                        (2.3)

(s – фиксированный вектор из ). Если "звезда" разностного оператора, т. е. компоненты векторов  и коэффициенты "симметричны", т. е. можно записать , то этот оператор самосопряжённый. В частности, самосопряжённым является оператор (2.3). Однако вопрос о существовании обратного оператора даже для оператора усреднения (2.3) весьма сложен.

Оператор центральных разностей , не является самосопряжённым, хотя оператор самосопряжён. Оператор не самосопряжённый, а оператор самосопряжён.

Пример 2.5. На квадратной сетке с шагом s частной производной сопоставим разностные операторы (опуская сомножители ):

Оператор S самосопряжённый, а оператор T нет. С помощью унитарного оператора сдвига оператор T можно представить в виде . Оператор T нормален, представляет собой разностный оператор для . Так как , то и оператор V положительно полуопределён.