Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 12 )

                                        (2.30)

(r задано, u искомое) можно сопоставить экстремальную задачу, а именно задачу отыскания минимума функционала

.                 (2.31)

Теорема 2.8. Пусть T – самосопряжённый, положительно полуопределённый оператор в гильбертовом пространстве H с плотной в H областью определения D и со значениями в H. Пусть – заданный элемент. Если уравнение (2.30) имеет решение w, то на этом решении функционал вида (2.31) принимает наименьшее значение в области D. Обратно, если в области D существует элемент w, минимизирующий , то w является решением уравнения (2.30).

Доказательство. Необходимость. Функционал принимает только действительные значения, т. к. в силу самосопряжённости оператора T скалярное произведение действительно. Как область определения линейного оператора D представляет собой линейное многообразие. Пусть v и z – два элемента из D и . Тогда

  (2.32)

Пусть – решение уравнения (2.30). В этом случае , при этом , так как оператор T положительно полуопределён. Поэтому для всех , и w – точка минимума функционала .

       Достаточность. Обратно, пусть задача на минимум имеет решение. Для действительного числа s и любого имеем

.                                          (2.33)

Подставим в (2.32) и :

.

В силу (2.33), для всех действительных s справедливо неравенство

.

Но это возможно лишь тогда, когда . Заменяя на (в случае действительного гильбертова пространства этот шаг отпадает), получаем . Следовательно, . В силу произвольности выбора в области D и плотностью D в пространстве H имеем , т. е. w есть решение уравнения (2.30).■

       Замечание 2.7. Доказанная Теорема 2.8 не говорит о существовании решения уравнения (2.30) или решения экстремальной задачи. Она утверждает лишь эквивалентность этих задач: если одна из них имеет решение w, то w является решением и другой задачи.

        Пример 2.10. Рассмотрим уравнение Лапласа для действительной функции

в замкнутой ограниченной области , на границе области B. Все величины действительны. Здесь D – множество функций, непрерывных в области B, равных нулю на и имеющих непрерывные производные до второго порядка включительно. Множество D плотно в гильбертовом пространстве . Функция . Для функции по формуле Грина имеем

где J – интеграл по границе, который равен нулю вследствие  на . Скалярное произведение может равняться нулю лишь в случае, когда , или , то есть с учётом граничных условий лишь для . Следовательно, T – положительно определённый оператор, который, согласно пункту 2.4, является также самосопряжённым. Таким образом, предположения Теоремы 2.8 выполнены.

       Экстремальная задача (2.31) в данном случае имеет вид

,                         (2.34)

и мы получаем принцип Дирихле: решение рассматриваемой задачи с граничными условиями эквивалентно решению вариационной задачи отыскания минимума функционала (2.34) в области B.

       Эта эквивалентность лежит в основе широко используемого метода Ритца (см., например, [12]). Аналогичные рассмотрения можно провести и для более общих эллиптических дифференциальных уравнений при других граничных условиях, и для уравнений высших порядков.

Литература
Демидович методы анализа / , , . – 3-е изд. – М.: Наука, 1967. Демидович вычислительной математики / , . – 3-е изд. – М.: Наука, 1966. Колмогоров теории функций и функционального анализа / , . – 6-е изд. – М.: Наука, 1989. Люстерник курс функционального анализа /
, . – М.: Высшая школа, 1982. Канторович анализ / , . – М.: Наука, 1984. Богданов по функциональному анализу /
. – Ульяновск: УлГУ, 2003. Богданов функционального анализа в вычислительной математике (часть 1) / . – Ульяновск : УлГУ, 2012. Треногин анализ / . – М.: Наука, 1980. екции по математике. Функциональный анализ /
В. Босс. – М.: КомКнига, 2005. Князев анализ / . – М.: УРСС, 2003. Васильева уравнения / ,
. – М.: Физматлит, 2002. ункциональный анализ и вычислительная математика / Л. Коллатц. – М.: Мир, 1969. Крылов вычисление интегралов / . – М.: Наука, 1967. Леонтьева по теории функций действительного переменного / , , . – М.: МГУ, 1997. Треногин и упражнения по функциональному анализу / , , . – М.: Физматлит, 2002.

Учебное издание

методы функционального анализа
в вычислительной математике

Учебно-методическое пособие

Часть 2

Директор Издательского центра

Подготовка оригинал-макета

Подписано в печать 18.12.15.

Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,9.

Тираж 50 экз. Заказ 152/

Оригинал-макет подготовлен

в Издательском центре

Ульяновского государственного университета

Отпечатано в Издательском центре

Ульяновского государственного университета

432017, 2