Методы функционального анализа в вычислительной математике Учебно-методическое пособие (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, информационных и авиационных технологий

Кафедра прикладной математики

методы функционального анализа
в вычислительной математике

Учебно-методическое пособие

часть 2

Ульяновск

2015

УДК 517.5

ББК 22.162

  Б73

Печатается по решению Учёного совета

факультета математики, информационных и авиационных технологий

Ульяновского государственного университета

(протокол №9/15 от 01.01.01 г.)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Б 73                 Методы функционального анализа в вычислительной математике : учебно-методическое пособие : в 2 ч. Ч. 2 / . – Ульяновск : УлГУ, 2015. – 36 с.

В учебно-методическом пособии рассматриваются базовые понятия и методы функционального анализа в приложении к вычислительной математике, а также свойства функционалов и операторов, действующих в метрических, линейных нормированных и гильбертовых пространствах.

Пособие предназначено для студентов старших курсов факультета математики, информационных и авиационных технологий УлГУ.

УДК 517.5

ББК 22.162

© Ульяновский государственный университет, 2015

© , 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие        4

§ 1 Операторы в псевдометрических и других общих функциональных пространствах        6

1.1 Линейные и ограниченные операторы        6

1.2 Действия над операторами        7

1.3 Обратный оператор        9

1.4 Примеры операторов        10

1.5 Ограниченные обратные операторы        12

1.6 Обусловленность линейного ограниченного оператора        13

1.7 Оценка погрешности итерационного метода        13

1.8 Теорема Банаха о последовательности операторов        14

1.9 Применение квадратурных формул        15

§ 2 Операторы в гильбертовых пространствах        17

2.1 Сопряжённый оператор        17

2.2. Примеры операторов        20

2.3 Дифференциальные операторы для функций одной
  переменной        22

2.4 Дифференциальные операторы для функций многих
  переменных        24

2.5 Вполне непрерывные (компактные) операторы        27

2.6 Оценка остаточного члена для голоморфной функции        29

2.7 Оценка погрешности квадратуры, в которой не участвуют
  производные        30

2.8 Основной принцип вариационного исчисления        32

Литература        35

Предисловие

Большое и исключительно плодотворное влияние идей и методов функционального анализа на развитие математики в 20 веке является в настоящее время общепризнанным. Функциональный анализ играет важную роль в современном фундаментальном образовании не только математика-прикладника, но и инженера-исследователя, которому предстоит применять математические методы в конкретной отрасли науки и технологий.

Как и в других областях, в вычислительной математике в настоящее время наблюдается сильное стремление к абстракциям, а также к стиранию граней между ней и другими математическими дисциплинами. Функциональный анализ лежит в основе как чистой, так и прикладной математики. Изучая функциональный анализ, становится ясно, что видимой грани между этими двумя разделами нет, существует лишь одна Математика, а анализ, алгебра, топология, вычислительная математика, теория вероятностей и т. д. являются лишь тесно связанными между собой её областями.

На сегодняшний день известно так много приложений функционального анализа в вычислительной математике, что невозможно перечислить все их в рамках данного пособия. Здесь мы лишь попытаемся, рассмотрев некоторые приложения, пробудить интерес студентов к затронутым вопросам. Задачи физики и техники сейчас настолько сложны, что современная точная абстрактная математика часто не в состоянии дать удовлетворительные точные аналитические результаты. Особенно это касается нелинейных задач, все больше сегодня выступающих на передний план.

С другой стороны, те исследователи, которые  численно решают задачи на компьютерах, иногда не знают, что для этих задач имеется удовлетворительный математический аппарат, позволяющий, например,  оценить точность приближённого решения.

Давид Гильберт в конце 19 века своей идеей функциональных пространств указал исключительно плодотворное направление дальнейшего развития математики. Понятие гильбертова пространства оказалось весьма важным для широкого поля приложений, например круга задач о собственных значениях в теоретической физике. Однако оказалось, что для решения нелинейных задач необходимо переходить к более общим пространствам. Этот путь указал Стефан Банах. В дальнейшем исследовались различные ещё более общие абстрактные пространства, которые затронуты в пособии лишь в той общности, насколько это оказывается необходимым для применения в вычислениях на ЭВМ. И в этом смысле введённые Г. Курепой псевдометрические пространства являются в настоящее время наиболее важным обобщением ранее рассмотренных пространств.

Поскольку данное учебно-методическое пособие рассчитано на читателей, интересующихся в основном приложениями, автор полагает весьма важным, чтобы материал был доступен студентам инженерных и информационно-компьютерных специальностей, так как это позволяет добиться применения теории к актуальным приложениям.

Автор искренне благодарен рецензентам, профессору кафедры информационной безопасности и теории управления УлГУ и доценту кафедры прикладной математики УлГУ , внимательно прочитавшим текст рукописи и сделавшим ряд важных замечаний, учтённых при подготовке учебно-методического пособия к печати.

§ 1 Операторы в псевдометрических и других общих функциональных пространствах
1.1 Линейные и ограниченные операторы

Определение 1.1. Оператор T (отображение, преобразование) представляет собой правило, при котором каждому элементу x непустого подмножества D пространства X однозначно ставится в соответствие элемент y некоторого пространства Y; в этом случае пишут . Множество D называется областью определения оператора, а множество  всех таких y – областью значений оператора.

Если оператор T определен в  , а оператор – в , и если и для всех справедливо равенство , то оператор называется расширением оператора T, а оператор T – сужением оператора . В дальнейшем пространства X и Y предполагаются линейными и, в частности, псевдометрическими с нулевыми элементами и . Пусть расстояния и в пространствах X и Y являются элементами линейных полуупорядоченных пространств и с нулевыми элементами и . (Определение и свойства псевдометрических пространств даны в первой части данного учебно-методического пособия [7].)

Определение 1.2. Оператор T называется однородным, если для всех справедливо равенство . При этом X и Y – пространства над одним и тем же числовым полем K.

Определение 1.3. Оператор T называется линейным, если из соотношений следует, что

, .                        Следствие 1.1. Множество  должно быть линейным многообразием. Из свойства линейности при следует, что .