Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 2 )

Вопросы для обсуждения

Все ли кубические уравнения   можно  привести к виду ?  Верно ли, что для решения любого кубического уравнения достаточно уметь решать уравнения  вида ,  ,  ,  где – неизвестное, – числа, ,  ? Как знак дискриминанта влияет на количество корней кубического уравнения? Почему решение уравнения    привело к неразрешимому случаю?

Основной  теоретический материал

Кубическим уравнением  называется уравнение  вида

, – неизвестный, – числа, где .

Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические  оказались "крепким орешком". В конце XV века профессор математики в университетах Рима и в своей знаменитой книге "Сумма знаний по  арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Прежде, чем решать кубическое уравнение общего вида, рассмотрим неполные кубические уравнения двух видов.

Если в кубическом уравнении , то есть оно имеет вид , то  левую часть уравнения можно представить в виде произведения . Решение этого уравнения сводится к решению линейного уравнения   и  .  И то, и другое уравнение мы всегда можем решить. Если в кубическом уравнении , то оно имеет достаточно простой вид:

.  В  этом случае   и, следовательно, .

Встает вопрос, как же решить кубическое уравнение общего вида?

Начнем с упрощения кубического уравнения. Любое кубическое уравнение общего вида

, где ,

можно привести к виду

,  (1)

По аналогии с решением квадратного уравнения, в основе которого лежит формула квадрата суммы, поиск решения кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

,  (2)

где – некоторое  число.

Сложим равенства (1) и (2):

.

Чтобы избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного,  возьмем    и получим

,

таким образом, мы избавились от члена, содержащего квадрат неизвестного.

Если здесь сделать замену , то получим кубическое уравнение  относительно без члена с  :

.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (1) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Таким образом, чтобы решить любое кубическое уравнение, достаточно уметь решать уравнение вида:

, где – числа.  (3)

Такая запись впервые появилась у Декарта, который рассматривал уравнения как с положительными, так и с отрицательными коэффициентами. Математики XVI века решали уравнения только с положительными коэффициентами и корнями. Поэтому они изучали три вида кубических уравнений:

,  ,  .

В 1505 г. профессор математики Болонского университета Шипион (Сципион) дель Ферро нашел формулу для решения уравнения , ,  , но не опубликовал ее, а сообщил своему ученику Антонио Марио Фиоре.