Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 6 )

  (,  )

Найдем дискриминант . Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет три различных действительных корня.

  (замена ; , уравнение имеет три различных действительных корня)   (замена ; , уравнение имеет один действительный корень)
Сделайте в данном уравнении линейную замену, так чтобы в уравнении не стало члена содержащего квадрат неизвестного, определите сколько корней имеет кубическое уравнение и решите его по формуле Кардано:

Решение:  ,  ,  .  Воспользуемся выражением и получим

Пусть ,  тогда . Тогда получим 

  (,  )

Найдем дискриминант . Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают.

По формуле Кардано  получаем

.

Разложим многочлен на простые множители

Значит, корнями уравнения   являются числа -4; 2; 2.

Сделаем обратную замену:

;

;

.

Ответ: -3; 3

  (Ответ: 4; 3)
Определите сколько корней имеет кубическое уравнение и решите его по формуле Кардано: (Ответ: -2; 1)   (Ответ: -4)

3. Уравнения  четвертой и более высоких степеней.

Краткое содержание темы 

Общий вид уравнения четвертой степени; решение уравнения четвертой степени методом Феррари, проблема разрешимости в радикалах уравнений выше четвертой степени (Абель), проблема разрешимости уравнений в радикалах (Галуа), возвратные уравнения четной и нечетной степени.

Вопросы для обсуждения

Любое ли уравнение разрешимо в радикалах?

Основной  теоретический материал

Уравнением четвертой степени называется уравнение  вида ,  где – неизвестное, – числа,  .

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Поясним метод Феррари на примере:

Выделим полный квадрат  .  Хорошо бы и правая часть была точным квадратом. 

Введем еще одну переменную и к обеим частям уравнения прибавим .  Левая часть остается точным квадратом:

.

Найдем такое , что и правая часть уравнения так же будет являться точным квадратом. Для этого дискриминант квадратного трехчлена в правой части должен быть равен 0.

.