Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 7 )

Уравнение вида    мы уже решать умеем, поэтому останавливаться на подробном решении не будем. Его корень .  Тогда:

        и  .

Таким образом, проблема разрешимости в радикалах уравнений второй, третьей, четвертой степени была решена. 

Предстояло сделать следующий шаг — отыскать алгоритм для решения уравнения пятой степени. Над разрешением этой проблемы бились лучшие умы человечества на протяжении почти трех веков, но уравнение пятой сте­пени не поддавалось усилиям ученых. Они никак не могли найти формулу, которая позволяла бы по коэффициентам уравнения вычислить его корни. И это, несмотря на то, что среди пытавшихся решить задачу были такие корифеи, как Лагранж.

За решение проблемы взялся Абель Нильс Хенрик (1802-1829гг.). После нескольких недель работы ему показалось, что он нашел искомые  формулы. Многие математики проверяли результат, полученный юным исследователем, но найти ошибку не могли. Тогда один из них посоветовал Абелю проверить формулы на конкретном уравнении. И тут оказалось, что они ошибочны, так как дают неверные ответы.

Абель задумался. «Может быть, уравнение пятой степени, вообще, нельзя решить в радикалах?»  И к концу 1823 г. ему удалось доказать, что уравнение вида

(при )

не может быть разрешено в радикалах,  т.  е.  его корни не могут быть найдены при помощи четырех действий арифметики и извлечения корней.

На родине величайшее открытие Абеля так и  не было  признано при его жизни. В 1908 году в Осло воздвигнут памятник Абелю в виде Геркулеса, который повергает пятиглавую гидру, символизирующую собой уравнения пятой степени.

Универсальной формулы решения уравнений в радикалах, пригодной для всех уравнений пятой, шестой и т. д. степени, не существует. Но отсюда не следует,  что какие-то конкретные уравнения нельзя решить! Например, мы всегда можем решить уравнение вида  . Решение выражается формулой .

Следующий шаг в решении проблемы сделал Эварист Галуа (1811-1832),  гениальный  французский  математик, Он дал критерий разрешимости уравнения в радикалах.

Исследования Галуа показали, что для всякого натурального , начиная с , можно указать неразрешимые в радикалах уравнения п-ой степени даже с целочисленными коэффициентами. Таким будет, например, уравнение .

Личность Галуа настолько исключительна, что стоит немного остановиться на некоторых моментах его жизни.  Дважды провалившись на вступительных экзаменах Политехническую школу, Галуа поступил в Нормальную школу, откуда был вскоре (в 1830г., после июльской революции) исключен за выступление против директора.

Галуа активно участвовал в бурной политической жизни Франции. Ярый республиканец и заклятый враг короля Людовика-Филиппа, он неоднократно подвергался арестам и погиб совсем молодым на дуэли.

Глубокие идеи Галуа не были оценены по достоинству его современниками. Две работы, представленные им во Французскую Академию наук, не только остались без ответа, но и оказались потерянными.

Результаты Абеля и Галуа вовсе не исключают, что какие-то конкретные уравнения высших степеней допусками решение в радикалах. В алгебре стараются находить классы. таких  “хороших” уравнений и разрабатывают методы  их  решений.

Рассмотрим некоторые из таких классов.

Уравнения вида   называются трехчленными. Они могут быть решены с помощью подстановки . После подстановки получим: . А квадратные уравнения решать мы умеем.

Имеются специальные способы решения уравнений вида

.

Такие уравнения называются возвратными. У  этих уравнений старший коэффициент равен свободному члену, второй коэффициент равен предпоследнему коэффициенту и т. д.

Приведем примеры решения некоторых возвратных уравнений.

Рассмотрим сначала возвратные уравнения четной степени, например четвертой:

.

Мы уже занимались решением таких уравнений. Разделим обе части уравнения на . Такое деление возможно, так как не является корнем данного уравнения.  Получим

.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

.

Выполнив подстановку  .  Так как ,  то уравнение примет вид . Оно является уравнением второй степени.

Решение любого уравнения четной степени подстановкой сводится к решению уравнения степени .

Решим уравнение  .

Решение. 

Проверкой убеждаемся, что не является корнем исходного уравнения. Поделим обе части уравнения на и объединим равностоящие от начала и конца члены уравнения (при этом корней уравнения не теряем, так как ).