Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 5 )

Имеет место следующее утверждение.

Теорема.

Если , то уравнение    имеет три различных действительных корня.

Если , то уравнение    имеет три различных действительных корня, из которых два совпадают.

Если , то уравнение    имеет один действительный корень.

Рассмотрим уравнение

. 

Очевидно, что корень уравнения будет равен 4, но для Тартальи оно оказалось неразрешимым. Попробуем разобраться, почему  его метод «не работал».

После подстановки   получается  система:

.

По теореме обратной теореме Виета    и   являются корнями квадратного уравнения

.  (6)

Дискриминант данного уравнения меньше нуля, следовательно, оно не имеет действительных корней. Именно эта трудность стала камнем преткновения для Тартальи. Этот случай называется неприводимым.

Таким образом, необходимость расширения множества действительных чисел была впервые осознана математиками именно при решении кубических уравнений вида  ,  где ,  .

Впервые неприводимый случай удалось разрешить Бомбелли.

По формуле Кордано решением уравнения (5) будет

.  (см. (6)).

Бомбелли исходит из того, что каждое слагаемое можно представить виде    и  , то есть он каким-то чудом сообразил, что кубический корень из комплексных чисел вновь является комплексным числом. Рассуждения Бомбелли можно передать следующим образом. Пусть ,  .  Тогда:

  (1)

  (2)

Сложим  (1)  и (2):     

Получим систему:

.

Подбором Бомбелли получил корни  системы  ,  . 

Значит,  , 

Сложим эти выражения и получим .

Таким образом, сложность неприводимого случая Бомбелли смог преодолеть с помощью чисел    и  , которые он назвал «софистическими» (мнимыми) числами  и ввел аксиоматически.  Эти числа оставались чисто техническим приемом, пока Гаусс не дал им геометрическую иллюстрацию и они не получили полные права «гражданства» (так было и с отрицательными числами, пока Декарт не дал им геометрическую иллюстрацию с помощью координатной прямой).

Практические задания:

Сделайте в данном уравнении линейную замену, так чтобы в уравнении не стало члена содержащего квадрат неизвестного, определите сколько корней имеет кубическое уравнение:

Решение:  ,  ,  .  Воспользуемся выражением и получим

Пусть ,  тогда . Тогда получим