Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 1 )

Программа элективного курса для учащихся X-XI классов

«Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс по своему математическому содержанию примыкает к базисному курсу алгебры. Главное его содержание направлено на показ конкретных культурно-исторических ситуаций затрагиваемых в курсе достижения математики.

Подключение к изложению конкретного математического материала сопутствующих сведений исторического характера носит развивающий характер. 

Программа курса  ориентирована на учащихся, которые с увлечением изучают математику, участвуют в олимпиадах, занимаются в кружках, им интересны приложения математики. Они готовы самостоятельно или под руководством учителя познакомиться с идеями и методами решения задач, выходящими за рамки общеобразовательной программы. Их отличает стремление к сотрудничеству и готовность обсуждать разные способы решения задач, передавать свой опыт другим.

Курс содержит значительное количество сложных и интересных задач, многие из которых помогут увидеть красоту математики и почувствовать эстетическое удовлетворение от оригинального решения.

Прагматическая составляющая курса обеспечивается включением задач, направленных на подготовку к экзаменам различного уровня.

Цели курса

Получение представлений о математике как живой, развивающейся науке. Получение представлений о роли математиков в развитии математики. Ознакомление с одной из основных линий развития математического знания – линией уравнений в конкретно-историческом контексте. Способствование эмоционально-психологическому восприятию математики и отношению к математике; развитие интереса к математике. Развитие общей и математической культуры учащихся.

Задачи курса

Освоение знаний об истории развития алгебры, представления об уравнениях. Овладение изучаемыми в курсе сведениями о различных методах математики на примерах алгебраических уравнений. Получение конкретных представлений о взаимосвязях математики и практики. Восприятие математики как важной части системы наук, культуры и общественной практики. Совершенствование коммуникативных навыков и речевой культуры уча­щихся. Создание условий для формирования умений самостоятельной работы.

Ожидаемые результаты

В результате изучения курса более полно будет использован гуманитарный потенциал школьной математики за счет привлечения исторических сведений, существенно повысится уровень математической культуры учащихся, значительно расширится арсенал используемых приемов и методов решения уравнений, сформируется навык  переноса алгоритмов в новые и нестандартные ситуации. Разнообразный спектр рассматриваемых задач, связанных с подбором значении параметров в подстановке, разовьет исследовательские умения учащихся, их творческий потенциал.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате  изучения курса учащиеся должны знать:

решение любого кубического уравнения можно свести к решению линейных и квадратных уравнений; решение любого уравнения четвертой степени можно свести к решению квадратных и кубических уравнений; уравнения степени выше 4 неразрешимы в радикалах в общем случае; зависимость количества действительных корней уравнения   от его коэффициентов; алгоритм решения возвратных уравнений четной и нечетной степеней; фамилии ученых математиков, усилиями которых была разрешена проблема решения уравнений высших степеней в радикалах.

В результате  изучения курса учащиеся должны понимать:

любое кубическое уравнение можно привести к виду ; причины возникновения неприводимого случая при решении кубических уравнений; необходимость дальнейшего расширения множества действительных чисел; процесс нахождения подходящих подстановок в методах Тартальи и Феррари.

В результате  изучения курса учащиеся должны уметь:

решать целые и дробно-рациональные уравнения с помощью выделения полного квадрата; использовать введение двух новых переменных при решении целых, дробно-рациональных и иррациональных уравнений; решать возвратные уравнения в зависимости от четности степени уравнения.

Оценивание достижений учащихся

Результаты освоения курса могут быть зафиксированы по желанию ученика в аттестате или в «портфолио» в одной из выбранных перед началом занятий форм: зачет или отметка (отлично, хорошо, удовлетворительно). Неудовлетворительные отметки не выставляются.

Содержание курса

Общий вид кубического уравнения; неполные кубические уравнения; приведение кубического уравнения    к виду  , где – неизвестное, – числа, ; решение кубических уравнений вида , методом подстановки (метод Тарталья);  формула Кардано; дискриминант кубического уравнения; неприводимый случай; решение проблемы неприводимого случая  (Бомбелли).

Общий вид уравнения четвертой степени; решение уравнения четвертой степени методом Феррари.

Проблема разрешимости в радикалах уравнений выше четвертой степени (Абель, Галуа). 

Возвратные уравнения. 

Использование идей Тартальи и Феррари при решении целых,  дробно-рациональных и иррациональных уравнений.

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование тем курса	Количество часов
1.	Кубические уравнения	7
Общий вид кубического уравнения. Неполные кубические уравнения	1
Упрощение кубических уравнений. Классификация кубических уравнений с положительными коэффициентами в 16 веке	1
Метод Тартальи для решения кубических уравнений. Неприводимый случай	2
Решение уравнений по формуле Кардано. Дискриминант кубического уравнения	2
Введение мнимой единицы (Бомбелли).	1
2.	Уравнения степени ()	7
Метод Феррари для решения уравнений четвертой степени	2
Неразрешимость в радикалах уравнений степени выше четвертой.	1
Возвратные уравнения четной степени	2
Возвратные уравнения нечетной степени	2
3.	Использование идей Тартальи при решении целых и дробно-рациональных уравнений.	9
Решение целых уравнений с помощью введения двух новых переменных.	3
Решение дробно-рациональных уравнений с помощью введения двух новых переменных.	3
Решение иррациональных уравнений с помощью введения двух новых переменных.	3
4.	Использование идей Феррари при решении целых и дробно-рациональных уравнений.	6
Решение целых уравнений с помощью выделения полного квадрата.	3
Решение дробно-рациональных уравнений с помощью выделения полного квадрата.	3
5.	Итоговое занятие.	1
Итого:	30

Дидактические материалы для элективного курса

1.  Кубические уравнения.

Краткое содержание темы

Общий вид кубического уравнения; неполные кубические уравнения; приведение кубического уравнения    к виду  , где – неизвестное, – числа, ; решение кубических уравнений вида , методом подстановки (метод Н. Тарталья);  формула Д. Кардано для уравнения вида дискриминант кубического уравнения , неприводимый случай; решение проблемы неприводимого случая  (Р. Бомбелли).