Программа элективного курса для учащихся X-XI классов «Проблема разрешимости алгебраических уравнений высших степеней в радикалах» (стр. 4 )

Следовательно,  Тарталья получил для решения уравнения   (,  ): 

. 

Общий подход к решению приведенных кубических уравнений вида  , где   и    - действительные числа (как положительные, так и отрицательные) разработал Джероламо Кардано (1501—1576). 

Кардано был выдающимся врачом, философом, математиком и механиком.  В 1545 году он написал книгу, посвященную алгебре «Великое искусство, или об алгебраических правилах». Украшением этой книги и была «формула Кардано», как ее называют теперь.

Кардано рассуждал следующим образом.

Пусть - корень уравнения .  Представим его в виде суммы некоторых чисел   и  :  .  Подставляя в уравнение выражение , получаем

.

Преобразуем левую часть равенства:

;

;

.

Потребуем теперь, чтобы числа    и    удовлетворяли еще одному условию: .

Тогда получаем , то есть .  Из условия   вытекает, что .  Возводя обе части этого равенства в куб, получаем .

Итак, мы получили систему из двух уравнений:

.

По теореме обратной теореме Виета    и  являются корнями квадратного уравнения  .  Решая это квадратное уравнение, получим , т. е.

,  .

Отсюда получаем:

,  .

Учитывая равенство , получаем формулу, выражающую корень кубического уравнения через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов:

.

Это и есть формула Кордано.

Поразмышляем еще о корнях кубического уравнения.

Прежде всего, здесь возникает такой вопрос, как определить количество корней кубического уравнения.  Уравнение первой степени (линейное) имеет не более одного корня. Уравнение второй степени имеет либо два действительных корня (они могут оказаться одинаковыми), либо ни одного.

Как нам уже известно, число корней квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта  квадратного уравнения – выражения , которое заключено под знаком квадратного корня в формуле корней: .

В формуле Кардано тоже присутствует квадратный корень. Оказывается, знак выражения, которое заключено под этим радикалом, позволяет ответить на вопрос о количестве корней кубического уравнения.

Выражение называется дискриминантом кубического уравнения .

Так как ,  то формулу Кардано можно записать в таком виде:  .