Анализ данных и инструментальные методы статистики (стр. 11 )

КРЗ-3. Комплект разноуровневых задач

1.Задачи репродуктивного уровня

Задача 1. В результате статистического опроса получены данные о заработной плате 30 специалистов коммерческих банков (тыс. руб.):

22,45,36,17,24,39,40,44,55,72,77,56,27,41,40,31,33,18,55,64,67,70,34,21,20,47,30,29,47,51

Постройте вариационный ряд и графики, его характеризующие.

Задача 2. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания:

Пробег, тыс. км	6,5	7	9	10	12	11	14	13,5	18,5	20
Стоимость обслуживания, у. е.	12	15	20	19	18	23	25	25	29	35

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Сделайте выводы.

2.Задачи реконструктивного уровня

Задача 1. Имеются данные о числе  телевизоров, проданных в течение  26 дней:

16; 12; 15; 15; 23; 9; 15; 13; 14; 14; 21; 15; 14; 17; 27; 15; 16; 12; 16; 19; 14; 16; 17; 13; 14; 14.

1) Расположите данные в возрастающем порядке

2) Определите 25-й; 50-й и 90-й перцентили, нижний, средний и верхний квартили.

3) По ранжированным данным составьте дискретный вариационный ряд распределения частот.

4) Составьте дискретный вариационный ряд частостей.

5) Составьте интервальный вариационный ряд частот.

6) Постройте полигон дискретного вариационного ряда частот.

7) Постройте гистограмму интервального вариационного ряда частот.

8) Вычислите моду для дискретного вариационного ряда частот.

9) Найдите медиану и моду для интервального вариационного ряда частот.

10) Рассчитайте среднее число проданных  телевизоров по формуле для дискретного и интервального рядов.

3.Задачи творческого уровня

Задача 1. Имеются следующие данные об удельном весе основных рабочих в трех цехах фирмы:

Цех	Удельный вес основных рабочих в % (pi)	Численность всех рабочих в %
1 2 3	80 75 90	100 200 150
Итого	-	450

Определить общую дисперсию доли основных рабочих по всей фирме, используя правило сложения дисперсий.

Задача 2. Рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение, используя данные опроса 8 биржевых брокеров:

Брокер	Проходил ли переобучение  В последние три года	Число контрактов, заключенных в день опроса
1	Да	9
2	Нет	8
3	Нет	6
4	Да	7
5	Нет	7
6	Да	8
7	Да	8
8	Нет	7

Регламент проведения  мероприятия оценивания:

На основе изложенного материала студентам предложено решение задач по теме «Методы анализа и оценки взаимосвязей данных, измеренных на количественных шкалах». На протяжении 5 минут по решению поставленной задачи высказываются все студенты (по желанию). Студенты задают преподавателю уточняющие вопросы, Преподавателем подводятся итоги (2 мин), студенты далее самостоятельно выполняют работу в письменной форме.

Эталон решения

Задача 1 (репродуктивный уровень). В результате статистического опроса получены данные о заработной плате 30 специалистов коммерческих банков (тыс. руб.): 22,45,36,17,24,39,40,44,55,72,77,56,27,41,40,31,33,18,55,64,67,70,34,21,20,47,30,29,47,51 Постройте вариационный ряд и графики, его характеризующие. Решение: Сделать какие-либо выводы из исходных данных не представляется возможным. Строить дискретный вариационный ряд также нерационально, так как он будет иметь большое число значений с частотами равными единице. Более правильно построить интервальный вариационный ряд. Для этого воспользуемся формулой Стерджесса и определим величину интервала При расчете величины интервала целесообразно округлять знаменатель до целого. В противном случае, при построении интервального ряда верхняя граница последнего интервала может не соответствовать максимальному значению признака в исходной совокупности. Учитывая, что минимальное значение признака 17, образуем первый интервал, прибавив к минимальному значению величину интервала 10, то есть нижняя граница первого интервала 17, а верхняя 27, второй интервал соответственно 27-37 и т. д. Таким образом, получим интервалы 17-27, 27-37, 37-47, 47-57, 57-67, 67-77. Ранжируем исходные данные: 17,18,20,21,22,24,27,29,30,31,33,34,36,39,40,40,41,44,45,47,47,51,55,55,56,64,67,70,72,77 Подсчитаем частоты. При подсчете возникает ситуация, в которой вариант (например 27) попадает на границу интервалов и может быть отнесен как к более раннему интервалу, так и к следующему за ним. В этом случае следует отнести его к интервалу, на верней границе которого он находится. Таким образом, 27 относится к первому интервалу. Результаты построения интервального вариационного ряда запишем в виде таблицы: Распределение специалистов коммерческих банков по величине заработной платы Величина заработной платы, тыс. руб. Количество специалистов, чел. 17-27 7 27-37 6 37-47 8 47-57 4 57-67 2 67-77 3 Итого 30 Интервальный вариационный ряд можно изобразить в виде гистограммы распределения. Для интервального ряда с равными интервалами на оси абсцисс откладывают отрезки равные длине интервала. На основании этих отрезков строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам или частостям соответствующих интервалов. Задача 2(репродуктивный уровень). Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания: Пробег, тыс. км 6,5 7 9 10 12 11 14 13,5 18,5 20 Стоимость обслуживания, у. е. 12 15 20 19 18 23 25 25 29 35 Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Сделайте выводы. Решение:  Рассчитаем коэффициент корреляции по следующей формуле: Проведем вспомогательные расчеты в таблице: 6,5 12 42,25 144 78 7 15 49 225 105 9 20 81 400 180 10 19 100 361 190 12 18 144 324 216 11 23 121 529 253 14 25 196 625 350 13,5 25 182,25 625 337,5 18 29 324 841 522 20 35 400 1225 700 Сумма = 121 221 1639,5 5299 2931,5 Подставим данные в формулу: Между пробегом автомобилей и стоимостью ежемесячного обслуживания существует прямая, сильная взаимосвязь. Задача 1 (реконструктивный уровень). Имеются данные о числе телевизоров, проданных в течение  26 дней: 16; 12; 15; 15; 23; 9; 15; 13; 14; 14; 21; 15; 14; 17; 27; 15; 16; 12; 16; 19; 14; 16; 17; 13; 14; 14. 1) Расположите данные в возрастающем порядке 2) Определите 25-й; 50-й и 90-й перцентили, нижний, средний и верхний квартили. 3) По ранжированным данным составьте дискретный вариационный ряд распределения частот. 4) Составьте дискретный вариационный ряд частостей. 5) Составьте интервальный вариационный ряд частот. 6) Постройте полигон дискретного вариационного ряда частот. 7) Постройте гистограмму интервального вариационного ряда частот. 8) Вычислите моду для дискретного вариационного ряда частот. 9) Найдите медиану и моду для интервального вариационного ряда частот. 10) Рассчитайте среднее число проданных  телевизоров по формуле для дискретного и интервального рядов. Решение: 1) Ранжируем данные: 9; 12; 12; 13; 13; 13; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 15; 15; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 19; 21; 23; 27. . 2) Определим 25-й, 50-й и 90-й перцентили для этого вариационного ряда. Для определения 25 перцентиля необходимо сначала найти его позицию в вариационном ряду:        По определению -перцентия имеем: Эта позиция находится между шестым и седьмым вариантами. Шестой по порядку вариант в ранжированном ряду равен 13, седьмой – 14. Значение перцентиля находится в точке, которая делит расстояние между 13 и 14 в отношении 0,75 к 1, т. е. расстояние от 13 до 25-го перцентиля составляет 0,75 от длины отрезка между 13 и 14. Итак, 25-й  перцентиль равен 13,75. Для того, чтобы найти 50-й перцентиль, мы должны определить значение варианта, соответствующего позиции: . Среди ранжированных вариантов значение 13-го по порядку варианта равно 15, а значение 14-го варианта так же равно 15, отсюда,  50-й перцентиль равен 15. Имеем: ; Аналогично определим 90-й перцентиль как значение варианта, соответствующего позиции . Значение 24-го варианта равно 19, а 25-го – 21, Следовательно, расстояние от 19 до 90-го перцентиля составляет 0,3 от длины отрезка между 19 и 21 (длина отрезка равна двум). Итак . Первый (нижний) квартиль – это 25-й перцентиль, т. е. значение признака в вариационном ряду, слева от которого лежит (или 25%) всех вариантов. Второй (средний) – это 50-й перцентиль, он же медиана . Третий (верхний) квартиль – это точка, слева от которой находится (или 75%) вариантов ряда. Сначала определим позицию, которой соответствует эта точка: . Значит значение верхнего квартиля равно 16,65. 3) В исходных данных: 12; 13; 14; 15; 16 и 17 повторяются. Тогда вариационный ряд можно представить в виде следующей таблицы:. Таблица 1 Значения признака 9 12 13 14 15 16 17 19 21 23 27 Число дней 1 2 3 6 5 3 2 1 1 1 1 В полученном ряду , а . 4) Запишем дискретный вариационный ряд частостей числа телевизоров, проданных в течение 26 дней: Таблица 2 9 12 13 14 15 16 17 19 21 23 27 0,04 0,08 0,11 0,23 0,19 0,11 0,08 0,04 0,04 0,04 0,04 . 5) Для данных примера 1.1 , а  и число интервалов . Находим ширину интервалов разбиения .        Если бы оказалось, что - дробное число (например, 3,9576), то за ширину интервала надо брать либо ближайшее целое число 4, либо ближайшую простую дробь , ограничиваясь двумя знаками после запятой. вариационный ряд границ интервалов группирования без корректировки границ первого и последнего интервалов, т. е. к прибавляем 3 и получаем первый интервал от 9 до 12. И последующие интервалы получаются прибавлением к концу предыдущего интервала ширины интервала . Затем подсчитываем количество вариантов , попавших в каждый интервал.        При построении интервальных рядов в каждый промежуточный интервал можно включать варианты, числовые значения которых больше нижней границы интервала и меньше или равны верхней границы (или наоборот). Таблица 3 Интервалы [9; 12] (12; 15] (15; 18] (18; 21] (21; 24] (24; 27] 3 14 5 2 1 1 ;        . Например, из табл.3 видно, что в третий интервал (15; 18] попало 5 вариантов. Если же в промежуточный интервал включаются варианты, числовые значения которых больше или равны нижней границы и меньше верхней границы, то частоты интервалов будут другими: Таблица 4 Интервалы [9; 12) [12; 15) [15; 18) [18; 21) [21; 24) [24; 27] 1 11 10 1 2 1 ;        . В третий интервал [15; 18) попало 10 вариантов. Для того, чтобы и попали внутрь первого и последнего интервалов группирования, начало (нижнюю границу) первого интервала рекомендуется брать как , а начало последнего интервала как . Промежуточные интервалы получаются прибавлением к концу предыдущего интервала величины интервала . Сгруппированный вариационный ряд с корректировкой границ первого и последнего интервалов представим в виде следующей таблицы: Таблица 5 Интервалы [7,5; 10,5) [10,5; 13,5) [13,5; 16,5) [16,5; 19,5) [19,5; 22,5) [22,5; 25,5) [25,5; 28,5] 1 5 14 3 1 1 1 Число интервалов разбиения увеличилось на 1, т. е. . 6) Построим полигон дискретного вариационного ряда частот (см. табл.1) Для построения полигона распределения дискретного вариационного ряда на оси абсцисс откладывают варианты, а на оси ординат частоты или частости. Полученные точки на их пересечении соединяют отрезками. Рис.1. Полигон распределения числа проданных телевизоров для дискретного вариационного ряда 7) При построении гистограммы частот для ряда по данным интервального ряда на оси абсцисс откладывают не точки, а отрезки, изображающие интервалы, а вместо ординат, соответствующих частотам определенных вариантов, строят прямоугольники с высотой, пропорциональной частотам интервалов. Рис.2. Гистограмма интервального вариационного ряда 8) Мода дискретного ряда равна 14. Значение признака, равное 14, встречается наиболее часто (соответствующая ему наибольшая частота равна 6). Следовательно, .        9) Определим моду для интервального ряда. Модальный интервал (12-15), так как ему соответствует наибольшая частота 11.        Далее вычисляем где        ;        ;  ;        ;        .        Тогда .        При нахождении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяем интервал, содержащий медиану. . Таблица 6 Интервалы 9-12 12-15 15-18 1 11 10 1 12 22 18-21 21-24 24-27 1 2 1 23 25 26 Первая из накопленных частот, которая превышает 13, равна 22. А ей соответствует интервал (15-18), который и будет медианным интервалом. Теперь вычислим :   ;        ;         ;        . .        10) Рассчитаем среднее число проданных  телевизоров по формуле средней арифметической взвешенной для дискретного вариационного ряда. А для интервального вариационного ряда по той же формуле, но в качестве значений признака примем середины интервалов. Теперь расчет средней арифметической примет вид:         Результаты полученные для несгруппированных данных и сгруппированных – отличаются. Если в наличии имеются несгруппированные данные, то расчеты по ним более точны. Задача 1. ( творческий уровень) Имеются следующие данные об удельном весе основных рабочих в трех цехах фирмы: Цех Удельный вес основных рабочих в % (pi) Численность всех рабочих в % 1 2 3 80 75 90 100 200 150 Итого - 450 Определить общую дисперсию доли основных рабочих по всей фирме, используя правило сложения дисперсий. Решение: 1) Определим долю рабочих в целом по фирме . 2) Общая дисперсия доли основных рабочих по фирме в целом будет равна: . 3) Внутрицеховые дисперсии рассчитаем, применив формулу : 4) Средняя из внутригрупповых дисперсий будет равна . 5) Межгрупповую дисперсию определим по формуле . Проверка вычислений показывает: , 0,154 = 0,15 + 0,004. Задача 2 ( творческий уровень). Рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение, используя данные опроса 8 биржевых брокеров: Агент Проходил ли переобучение  в последние три года Число контрактов, заключенных в день опроса 1 Да 9 2 Нет 8 3 Нет 6 4 Да 8 5 Нет 7 6 Да 8 7 Да 8 8 Нет 6 Среднее число контрактов, заключенных агентами: . В данном примере переподготовка рассматривается как факторный признак, а число заключаемых контрактов – как результативный. Сгруппируем эти данные по признаку переобучения и рассчитаем средние по каждой группе. Группы агентов Число агентов Число контрактов Групповая средняя Прошли переобучение 4 9, 8, 8, 8 8,25 Не прошли переобучение 4 8, 6, 7, 6 6,75 , где n1 – число признаков в первой группе. Или по формуле для взвешенных вариант , где fi – частоты ряда.  , где n2 – число признаков во второй группе. Рассчитаем дисперсию в каждой группе. Дисперсия числа заключенных контрактов у агентов, прошедших переобучение: Число контрактов Х Частота f 9 8 1 3 0,75 - 0,25 0,5625 0,0625 0,5625 0,1875 Итого 4 - - 0,7500 . Дисперсия числа заключенных контрактов у агентов, не прошедших переобучение: Число контрактов Х Частота f 8 7 6 1 1 2 1,25 0,25 - 0,75 1,5625 0,0625 0,5625 1,5625 0,0625 1,1250 Итого 4 - - 2,7500 . Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий: . Этот показатель характеризует влияние на результативный признак всех прочих факторных признаков за исключением признака, положенного в основу группировки. Очевидно, что различие в числе заключенных контрактов в двух группах вызвано тем, что брокеры первой группы прошли переобучение, а брокеры второй группы не прошли. Найдем дисперсию между группами (межгрупповую дисперсию). Согласно формуле : . Этот показатель характеризует влияние на результативный признак факторного признака, положенного в основу группировки. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий: =0. Проверим верность правила сложения дисперсий. Рассчитаем общую дисперсию числа заключенных контрактов Число контрактов Х Частота F 9 8 7 6 1 4 1 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5 2,25 0,25 0,25 2,25 2,25 1,00 0,25 4,50 Итого 8 - - 8,00 ?2 = 8/8 = 1,00 В самом деле, 1,00 = 0,5625 + 0,4375. По данным примера эмпирическое корреляционное отношение равно: . Следовательно, фактор, положенный в основу группировки, существенно влияет на число заключаемых агентами контрактов, но существуют и другие факторы, влияние которых тоже заметно.

Критерии оценивания: