ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 11 )

Наименьшее значение функции больше , если

Итак, удовлетворяют условию задачи.

Ответ. .

62. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех .

Решение. Рассмотрим функцию .

Неравенство выполняется для всех , тогда и только тогда когда наименьшее значение функции неотрицательное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

1. Найдём наименьшее значение функции .

1) Используя определение абсолютной величины, получим

а) Найдём производную. Имеем

б) Из уравнения находим критические точки: (точка не удовлетворяет условию  )

в) Критическими точками функции являются точки, в которых

не существует. Это точки: ,

2. Найдём значения функции в критических точках. Имеем

       Замечание. Наименьшее из чисел будет не меньше k, тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел будет не меньше k.

Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции не меньше нуля, найдём из системы (следует из замечания)

Ответ.

63. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решение. Рассмотрим функцию .

Неравенство имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции отрицательное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

1. Найдём наименьшее значение функции .

1) Используя определение абсолютной величины, получим

       2) Найдём производную функции . Имеем

3) Из уравнения находим критические точки: и

4) Критической точкой функции является точка, в которой не

существует. Это точка .

5) Найдём значения функции в критических точках. Имеем

Замечание. Наименьшее из чисел будет меньше k, тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел меньше k.

2. Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции меньше 3, найдём из совокупности

Из последней совокупности следует ответ.

Ответ.

64. Найдите все значения параметра а, при которых имеет хотя бы одно решение уравнение .

Решение. 1. Если то исходное уравнение принимает вид . Так как последнее уравнение имеет два корня (), то удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть Рассмотрим функцию

Так как то если Тогда областью определения функции является интервал

Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции неположительное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций)

и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

Найдём производную функции . Имеем

Из уравнения находим критические точки:

где

Найдём значения функции в критических точках. Имеем

где