ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 2 )

Решение. 1) Рассмотрим левую часть исходного уравнения. Так как функция возрастает, то

Итак, левая часть исходного уравнения меньше нуля.

2) Рассмотрим правую часть исходного уравнения. Имеем

Итак, правая часть исходного уравнения не меньше 0,75.

Из 1) и 2) следует, что исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

44. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение уравнение

Решение. Очевидно, ОДЗ уравнения: .

Перепишем исходное уравнение в виде

  (1)

Замечание. Функция возрастает, если .

Обозначение: наименьшее значение функции на промежутке

Если то исходное уравнение принимает вид Функция возрастает на промежутке как сумма четырёх возрастающих функций. Так как функция возрастает, то Тогда уравнение (1) имеет единственный корень (рис. 11), если

Из последней совокупности следует, что исходное уравнение имеет один корень, если

Ответ. Один корень, если

45. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение уравнение

Решение. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

       Итак, ОДЗ исходного уравнения является промежуток

Преобразуем исходное уравнение

Исходное уравнение равносильно уравнению

Если то исходное уравнение принимает вид Так как то уравнение может иметь корень, только в случае, если

Замечание. Функции возрастают, так как производные этих функций положительные.

Так как функции возрастают, если то функция возрастает, если как сумма возрастающих функций. Тогда функция убывает на промежутке .

Обозначение: наибольшее значение функции на промежутке

Так как функция убывает на промежутке то   Тогда уравнение (1) имеет единственный корень (рис.12), если

Ответ. Один корень, если

46. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет 1) три корня; 2) четыре корня.

Решение. ОДЗ параметра определяется неравенством

1. Так как и то правая часть уравнения (1) положительная при любом .

Левая часть уравнения (1) будет положительной, если

Из неравенства (2) и из неравенства следует: уравнение (1) может иметь решение, если параметр а удовлетворяет неравенству

Пусть где , где . Если то уравнение (1) принимает вид

       Рассмотрим функцию где Функция возрастает на интервале , как произведение двух положительных возрастающих функций. Уравнение (1) принимает вид где

Замечание. Если на промежутке X функция возрастает или убывает, то на этом промежутке .

2. Так как функция , где возрастает, то уравнение где равносильно системе

Рассмотрим уравнение 

Пусть где .

Так как постоянная, то уравнение где задаёт семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

График функции получается из графика функции следующим образом: