ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 7 )

2) Если , то функция имеет две критические точки:

Из 1) и 2) следует: не удовлетворяют условию задачи.

3) Пусть

Тогда, если то функция имеет три критические точки: которые разбивают числовую прямую на интервалы

На рисунке 15 указаны знаки функции на каждом интервале. Из рисунка 15 делаем вывод, что функция имеет три экстремальные точки.

Итак, удовлетворяют условию задачи.

4) Если то функция имеет две критические точки:

5) Если то функция имеет две критические точки

Из 4) и 5) следует: не удовлетворяют условию задачи.

Ответ.

55. Найдите все значения параметра а, при которых функция

1) имеет критические точки, но не имеет точек экстремума;

2) имеет точки экстремума;

3) имеет две точки экстремумов разного знака.

Решение. 1. Если то

.

Последняя функция является квадратичной функцией, которая в точке имеет максимум.

2. Пусть

Найдём производную функции . Имеем

       Отметим: функция , где является квадратичной функцией.

Если уравнение не имеет корней, то функция не имеет критических точек, а значит, не имеет экстремумов.

Если уравнение имеет корень двойной кратности, то этот корень является критической точкой функции , но не является экстремальной точкой (производная сохраняет знак).

Если уравнение имеет два разных корня, то эти корни являются критическими точками функции и являются экстремальными точками (при переходе через критические точки производная меняет знак). 

Критическими точками функции являются точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим уравнение

, где

Найдём дискриминант квадратного уравнения . Имеем

1) Пусть

а) Если то

Из последнего неравенства следует: если , то функция

имеет одну критическую точку (так как ), которая не является экстремальной.

б) Если то

Из последнего неравенства следует: если то функция имеет одну критическую точку (так как ), которая не является экстремальной.

2) Пусть

Если , то функции имеет две экстремальные точки: (эти точки являются нулями квадратичной функции и при переходе через эти точки меняет знак).

3. Исходная функции имеет точки экстремумов разного знака, если квадратное уравнение имеет корни разного знака, то есть, если

Итак, если , то функция имеет экстремальные точки разного знака.

Ответ.1) 2) ; 3).

56. Найдите все значения параметра а, при которых функция

на отрезке имеет одну критическую точку.

Решение. Найдём производную функции . Имеем

       Итак,

Критическими точками функции являются корни уравнения если они принадлежат интервалу .