ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 8 )

Имеем

Рассмотрим функцию Так как эта функция периодическая с периодом то число корней уравнения на интервале совпадает с числом корней уравнения на интервале .

Уравнение на интервале имеет единственный корень при любом Точка является критической точкой функции при любом

Функция на отрезке имеет одну критическую точку, если уравнения на интервале не имеет корней, кроме (если , то ).

Рассмотрим уравнения на интервале . Имеем

если

если

Итак, уравнения , если , на интервале имеет не менее одного корня.

Тогда уравнение на интервале имеет единственный корень, если уравнение не имеет корней на интервале (в этом случае или ) или имеет корень (в этом случае ).

Итак, исходная функция имеет единственную критическую точку, если 

Ответ.

57. В зависимости от p найдите все значения параметра а, для которых уравнение имеет три различных корня.

Решение. Рассмотрим функцию .

Уравнение (1) имеет три различных корня, если функция (многочлен третьей степени) имеет два экстремума (максимум и минимум) разных знаков.

Найдём производную

Найдём критические точки функции из уравнения

1. Если , то  функция имеет одну критическую точку: Так как то функция возрастает. Это означает, что при не существуют значений параметра а, удовлетворяющих условию задачи.

2. Если , то функция имеет две критические точки: . Если , то при переходе через точки квадратичная функция меняет знак. Это означает, что точки , если , являются точками экстремума (одна точка является точкой максимума, а другая – точкой минимума).

Уравнение (1) имеет три различных корня, если

Неравенство (2) является квадратным относительно параметра а. Найдём решения неравенства (2).

1) Если то решениями неравенства (2) являются, где

2) Если то решениями неравенства (2) являются, где

Ответ. Если то ; если то .

Наименьшее и наибольшее значения функции

Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наименьшее значение в точке , если точка и для любого . Обозначение:

Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наибольшее значение в точке , если точка и для любого . Обозначение:

58. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция 1) на отрезке принимает наибольшее значение, равное 5.

Решение. Представим исходную квадратичную функцию в виде

Замечание. Квадратичная функция где на промежутке возрастает, а на промежутке убывает.