ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 1 )

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18

Свойства функций в задачах с параметрами

Часть 2

Монотонные функции

Замечания.

1. Если функции и определены и возрастают (убывают) на множестве Х, то функция + возрастает (убывает) на этом множестве.

2. Если функция определена и возрастает (убывает) на множестве Х, то функция убывает (возрастает) на этом множестве.

3. Если функции и определены и возрастают (убывают) на множестве Х и для всех то функция возрастает (убывает) на множестве Х.

Для того чтобы функция , имеющая производную для каждого, была возрастающей (убывающей) на множестве Х, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

1)

2) не равна тождественно нулю ни на каком промежутке, принадлежащем множеству Х.

41. Найдите все значения параметра а, при которых функция возрастает на всей числовой оси.

Решение. 1. Найдём производную

       

2. Найдём значения параметра а, при которых для всех выполняется неравенство

Ответ.

42. Найдите все значения параметра а, при которых функция

убывает для любого .

Решение. 1. Найдём производную

Найдём все значения параметра а, при которых для всех выполняется неравенство

2. Рассмотрим неравенство (1) при различных значениях параметра а.

       1) Если , то неравенство (1) принимает вид Так как последнее неравенство выполняется не для любого , то не удовлетворяет условию задачи.

       2) Пусть .

       Если то неравенство (1) принимает вид

       Замечание. Если для некоторого параметра неравенство (2) имеет решение для любого то и для параметра неравенство (1) имеет решение для любого .

       а) Пусть Тогда неравенство (2) равносильно неравенству

       Неравенство (3) имеет решение для любого в трёх случаях.

       Неравенство (3) имеет решение для любого если уравнение  имеет не более одного корня. Уравнение (4) имеет не более одного корня, если

       Если то неравенство (3) имеет решение для любого а тогда и для неравенство (1) имеет решение для любого .

Неравенство (3) имеет решение для любого если оба корня уравнения (4) отрицательные.

Оба корня квадратного уравнения с дискриминантом , отрицательные, если 

Уравнение (4) имеет два отрицательных корня, если

Итак, если то неравенство (3) имеет решение для любого а тогда и для неравенство (1) имеет решение для любого .

Неравенство (3) имеет решение для любого если один корень уравнения (4) равен нулю, а другой корень отрицательный.

Корень уравнения (4) равен нулю, если

Рассмотрим уравнения (4), если Имеем

Итак, если , то неравенство (3) имеет решение для любого а тогда и для неравенство (1) имеет решение для любого .

б) Пусть

Рассмотрим неравенство

Пусть  

Так как графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, то найдутся значения для которых неравенство (5) не будет выполняться. Тогда не удовлетворяет условию задачи.

Ответ.

Использование монотонности функций

для решения уравнений, неравенств, систем уравнений

Замечание. Если на промежутке X функция монотонная (возрастает или убывает), то уравнение на промежутке X имеет не более одного корня.

43. Решите уравнение