ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 3 )

а) строим график ;

б) те точки графика, для которых , остаются без изменения, а точки графика, для которых отображаются относительно оси х.

На рисунке 13 изображён график функции а также графики

представителей семейства .

3. Уравнение имеет три корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций  пересекаются в трёх точках (при этих значениях параметра уравнение (1) также имеет три корня).

Прямая , где , пересекает график функции в трёх точках (следует из рисунка 13), если прямая   проходит через точку , то есть, если

Итак, если то (1) уравнение имеет три разных корня.

4. Уравнение имеет четыре корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций  пересекаются в четырёх точках (при этих значениях параметра уравнение (1) также имеет четыре корня).

Прямая , где , пересекает график функции

в четырёх точках (следует из рисунка 13), если

Итак, если , то исходное уравнение имеет четыре разных корня.

Ответ. Три корня, если

четыре корня, если .

47. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число корней уравнения не больше числа корней уравнения

Решение. 1. Рассмотрим уравнение (2).

ОДЗ параметра является множество (находится из неравенства ).

Пусть . Функция возрастает на интервале как сумма трёх возрастающих функций. Так как правая часть уравнения (2) является постоянное число, то уравнение (2) принимает вид (С – постоянное число). Тогда уравнение (2) имеет не более одного корня (имеет один корень или не имеет корней).

2. Рассмотрим уравнение (1). Имеем

Уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (3). Из условия задачи следует, что число корней уравнения (3) не больше числа корней уравнения , которое имеет не более одного корня. Тогда и квадратное уравнение (3) должно иметь не более одного корня.

Найдём дискриминант квадратного уравнения (3). Имеем

Имеем Так как то квадратное уравнение (3) при любом значении параметра а имеет корни. Условию задачи могут удовлетворять значения параметра а, при которых 

Если то Если то уравнение (1) имеет один корень кратности 2.

3. Рассмотрим уравнение (2), если

1) Так как не принадлежит ОДЗ параметра уравнения (2), то это уравнение не имеет корней, а уравнение (1) имеет корень. Значит, не удовлетворяет условию задачи.

2) Если то уравнение (2) принимает вид . Это уравнение имеет единственный корень, так как функция возрастает. Легко проверить, что единственным корнем уравнения является Уравнение (1), если так же имеет единственный корень. Это означает, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ.

48. Решите уравнение .

Замечание. Если функция возрастает, то .

Решение. 1. Если , то , где .

Если , то уравнение (1) принимает вид . Так

как функция возрастает, то уравнение (1) равносильно уравнению , где .

Найдём корни уравнения (2). Имеем

Уравнение (1), а значит и исходное уравнение, может иметь корни, если

2. Найдём, при каких значениях , для выполняется условие

1) Рассмотрим двойное неравенство

Итак, если , то является корнем уравнения (1).

Найдём корень исходного уравнения. Имеем