ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 9 )

Рассмотрим квадратичную функцию при различных расположениях точки относительно отрезка .

Пусть наибольшее значение функции на отрезке .

1) Если то функция на отрезке убывает и на этом отрезке она принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Итак, удовлетворяет условию задачи.

2) Если то функция на промежутке возрастает, а на промежутке – убывает. Поэтому на отрезке функция принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Так как последняя система не имеет решений, то при не существуют значений параметра, удовлетворяющих условию задачи.

3) Если то функция на отрезке возрастает и на этом отрезке она принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Итак, удовлетворяет условию задачи.

Ответ.

59. Найдите все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функция

на отрезке принимает наибольшее значение.

Решение. Так как функция непрерывна на отрезке , то существует точка или точки, в которых функция принимает наименьшее значение. Так как функция чётная и область, на которой рассматривается функция, симметрична относительно начала координат, то наименьшее значение функции на отрезке совпадает с наименьшим значением функции на

отрезке .

Обозначим через где

Найдём производную функции . Имеем

Корнями уравнения являются точки: , ,

Критической точкой функции на отрезке является точка (точка на отрезке не является критической, точка ). Очевидно,

Критическая точка разбивает отрезок на промежутки . Определим знаки производной на каждом промежутке.

Отметим: так как то знак производной зависит от знака При определении знака воспользуемся тем, что функция возрастает, если .

Из рисунка 16 делаем вывод: функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке . Поэтому в точке функция .на отрезке принимает наименьшие значение, равное

Найдём Имеем

Итак,

Так как наименьшее значение функции на отрезке , то

Итак,

Надо найти значения , при котором функция на отрезке принимает наибольшее значение. Для этого найдём производную . Имеем