ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 5 )

б) Если то первое неравенство системы (4) не имеет решений. Тогда система (4), а значит и исходное неравенство, не имеет решений.

в) Пусть

Уравнение , если , имеет два корня, если

Множеством решений первого неравенство системы (4), если , является отрезок где корни уравнения

Докажем, что неравенство если , имеет не менее двух решений.

Если , являются решениями уравнения то

Тогда

Итак, если , то система (4), значит и неравенство (1), имеет не менее двух решений.

Ответ. .

51. Решите систему уравнений

Решение.1.  Система  (1) равносильна системе уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы (2).

Пусть . Эта функция возрастает, как сумма возрастающих функций. Тогда уравнение (первое уравнение системы (2)) равносильно уравнению  .

Получили, что система (2) равносильна системе

       2.  Рассмотрим второе уравнение системы (3). Имеем

Определим, при каких значениях параметра а числа   удовлетворяют неравенству .

а) Число удовлетворяет неравенству , если

Итак, если , то является решением уравнения .

б) Число удовлетворяет неравенству , если

Так как последняя система не имеет решений, то ни при каких значениях параметра а не является решением уравнения .

3. Найдём решение системы (3), значит и системы (1).

Если , то является решением второго уравнения системы. Тогда из первого уравнения системы (3) находим .

Ответ. Если то ;

если то решений нет.

Критические точки. Экстремумы

Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна нулю или не существует, называется критической.

Точка является точкой максимума (минимума) функции если существует такая окрестность точки , что

1) функции является непрерывной в этой окрестности;

2) производная функции при переходе через точку в этой окрестности меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции обозначают .

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами.

52. Найдите критические точки и точки экстремумов функции.

Решение.

Рассмотрим различное расположение точки относительно точки .

1. Если , то исходная функция принимает вид

Найдём производную функции (1), если . Имеем

В точке функция (1) не имеет производной. Поэтому точка является критической, если .

При переходе через точку производная функции (1), меняет знак с минуса на плюс, поэтому точка , если . является точкой минимума.

2. Если , то

Найдём производную функции (2), если . Имеем

В точке функция (2) не имеет производной. Поэтому точка является критической, если . Так как при переходе через точку производная функции (2) меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума (точка экстремума), если .

В точке функция (2) не имеет производной. Поэтому точка является критической, если . При переходе через точку производная функции (2) не меняет знак, поэтому точка не является точкой экстремума.