ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 18 Свойства функций в задачах с параметрами Часть 2 (стр. 6 )

3. Если , то

Найдём производную функции (3), если . Имеем

В точке функция (3) не имеет производной. Поэтому точка является критической, если . При переходе через точку производная функции (2) меняет знак с минуса на плюс, поэтому точка является точкой минимума (точка экстремума), если .

В точке функция (3) не имеет производной. Поэтому точка является критической, если . При переходе через точку производная функции (2) не меняет знак, поэтому точка не является точкой экстремума.

Ответ. Если то точки и являются критическими; если , то точка является критической; если то точка является точкой экстремума; если , то

точка является точкой экстремума.

53. Найдите точки экстремумов функции

.

Решение. Множество значений параметра – промежуток

1. Если то функция принимает вид

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Критической точкой функции являются точка , в которой производная не существует.

в) Очевидно, производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, поэтому точка является точкой минимума (экстремума), если .

2. Пусть

Найдём производную функции . Имеем

       Итак,

       Критическими точками функции являются точки, в которых производная равна нулю или не существует.

1) Производная равна нулю, если

Итак, , где , является критической точкой функции .

2) Производная не существует, если , где

Итак, , , , где , являются критическими точками функции .

Исследуем критические точки функции на экстремум.

3) Если то функция имеет три критические точки , . Так как то .

Точки , разбивают числовую прямую на интервалы

Определим знаки функции на каждом интервале (рис. 14). Из

рисунка 14 делаем вывод, что точки , , где являются экстремальными.

Ответ. Если то точка точка экстремума; если то точки , точки экстремумов.

54. Найдите все значения параметра а, при которых имеет более двух точек экстремумов функция .

Решение. Имеем

       Найдём производную функции . Имеем

Исследуем функцию на экстремум при различных значениях параметра а.

1) Если то функция имеет две критические точки (точка является критической, так как производная в этой точке не существует, точка является критической, так как , точка не является критической, так как а тогда ).