Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 10 )

Отсюда в силу непрерывности функции F следует, что

равномерно по w, .

а значит,

равномерно по w,

откуда следует сходимость

                                       (2.71)

Переходя к пределу в неравенстве (2.70) с учетом условия (2.58), будем иметь

                                               (2.72)

Справедлива оценка

Переходя здесь к пределу с учетом условий (2.71), (2.72) установим сходимость

Отсюда в силу определения управлений и и иk следует, что максимальное значение критерия K, соответствующее неуправляемой функции ak, сходится к его максимуму, соответствующему предельному значению а неуправляемой функции. Теорема доказана.

Установим теперь достаточные условия непрерывной зависимости от неуправляемых функций оптимальных значений критерия задачи 2.5 вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования на базе дискретной неавтономной динамической системы.

Установим сначала соответствующий результат для задачи 2.5*.

Теорема 2.16. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2.11 в окрестности точки а функция f непрерывна по третьему аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первым двум аргументам на равномерно по третьему аргументу, а функция удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу на Х равномерно по первому аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2.5* непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.

Доказательство. Пусть имеет место сходимость

в Rsn.                                                (2.73)

Согласно теореме 2.11 задача 2.5* при значениях неуправляемых функций а и ak имеет решение, которое обозначим, соответственно, через v и vk. Обозначим через   решение уравнений состояния (2.53), (2.44), соответствующие неуправляемой функции b(∙) и управляемому параметру w. Тем самым функция удовлетворяет соотношениям

        (2.74)

                                       (2.75)

По аналогии с неравенством (2.70) устанавливается соотношение

               (2.76)

Обозначив

из равенств (2.74) выводим неравенства

где L есть константа Липшица функции f по первым двум аргументам, а М –  константа Липшица функции по второму аргументу. В результате получаем неравенство

где

Пользуясь методикой, описанной при доказательстве теоремы 2.15, установим оценку

и сходимость Таким образом, а значит,

равномерно по w, .

Отсюда в силу непрерывности функции F следует, что

равномерно по w, .

а значит,

равномерно по w.

Тогда в силу конечномерности пространства управлений и ограниченности множества U получаем

                               (2.77)

Переходя к пределу в неравенстве (2.76) с учетом условия (2.77), будем иметь

                               (2.78)

Справедлива оценка

Переходя здесь к пределу с учетом условий (2.77), (2.78), установим сходимость

Отсюда в силу определения управляющих параметров v и vk следует, что максимальное значение критерия K, соответствующее неуправляемой функции ak, сходится к его максимуму, соответствующему предельному значению а неуправляемой функции. Теорема доказана.

Поскольку максимум двух (а значит, и любого конечного числа) непрерывных функций является непрерывным, то из теоремы 2.16 следует аналогичный результат для задачи 2.5.

Теорема 2.17. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2.11 в окрестности точки а функция f непрерывна по третьему аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первым двум аргументам на равномерно по третьему аргументу, а функция удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу на Х равномерно по первому аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для задачи 2.5 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.

Целью следующего исследования является установление достаточных условий непрерывной зависимости от неуправляемых функций оптимальных значений критерия задачи 2.1. на базе непрерывной неавтономной динамической системы.

Теорема 2.18. Предположим, что при выполнении условий Теоремы 2.6 в окрестности точки а функция f непрерывна по второму аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому и третьему аргументам на равномерно по второму аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для Задачи 2.1 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.

Доказательство. Пусть имеет место сходимость

в (C[0,T])s.                                                (2.79)

Согласно теореме 2.6 задача 2.1 при значениях неуправляемых функций а и ak имеет решения, которые обозначим, соответственно, через и и иk. Обозначим через   решение уравнений состояния (2.1), (2.2), соответствующие неуправляемой функции b и управлению w. Тем самым функция удовлетворяет соотношениям

                       (2.80)

                                                       (2.81)

Тогда, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 2.13, по аналогии с соотношением (2.70) установим неравенство

                       (2.82)

Обозначив

из условий (2.80) выводим равенства

Интегрируя по t с учетом равенства (2.81), получаем