Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 11 )

где L есть константа Липшица функции f, не зависящая от w. Применяя лемму Гронуолла, будем иметь

где положительная константа с зависит только от L и от Т.

Пользуясь условием (2.79), получаем, что

,

а значит,

равномерно по w,

Отсюда в силу непрерывности функции F следует сходимость

равномерно по w,

А, значит, справедлива сходимость

равномерно по w.

В результате получаем

                                 (2.83)

Переходя к пределу в неравенстве (2.82) с учетом условия (2.83), будем иметь

                                               (2.84)

Справедлива оценка

Переходя здесь к пределу с учетом условий (2.83), (2.84), получим сходимость

Отсюда в силу определения управлений и и иk следует, что максимальное значение критерия K, соответствующее неуправляемой функции ak, сходится к его максимуму, соответствующему предельному значению неуправляемой функции а. Теорема доказана.

Определим достаточные условия непрерывной зависимости от неуправляемых функций оптимальных значений критерия задачи вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования на базе непрерывной неавтономной динамической системы.

Теорема 2.19. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2.8 в окрестности точки а функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве
, а функция удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу на Х равномерно по первому аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для Задачи 2.3* непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.

Доказательство. Пусть имеет место сходимость

в (C[0,T])s.                                                (2.85)

Согласно теореме 2.8 задача 2.3* при значениях неуправляемых функций а и ak имеет решение, которое обозначим, соответственно, через v и vk. Обозначим через   решение уравнений состояния (2.23), (2.2), соответствующие неуправляемой функции b и управлению w. Тем самым функция удовлетворяет соотношениям

                       (2.86)

                                       (2.87)

Тогда, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 2.15, по аналогии с соотношением (2.70) установим неравенство

               (2.88)

Обозначив

из условий (2.86) выводим неравенства

Интегрируя по t с учетом равенства (2.87), получаем

где L есть константа Липшица функции f, а М – константа Липшица функции по второму аргументу. Применяя лемму Гронуолла, будем иметь

где положительная константа с зависит только от L и от Т.

Пользуясь условием (2.85), получаем, что

равномерно по w,

Отсюда в силу непрерывности функции F следует, что

равномерно по w,

а значит,

равномерно по w.                                

В результате получаем

                                       (2.89)

Переходя к пределу в неравенстве (2.88) с учетом условия (2.89), будем иметь

                                               (2.90)

Справедлива оценка

Переходя здесь к пределу с учетом условий (2.89), (2.90) установим сходимость

Отсюда в силу определения управлений и и иk следует, что максимальное значение критерия К, соответствующее неуправляемой функции ak, сходится к его максимуму, соответствующему предельному значению а. Теорема доказана.

Пользуясь теоремой 2.19 по аналогии с теоремой 2.17 (непрерывность системы при этом принципиальной роли не играет), приходим к следующему утверждению:

Теорема 2.20. При выполнении для всех условий теоремы 2.19 оптимальное значение критерия для задачи 2.3 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.

Приведем формулировки теорем о непрерывной зависимости от неуправляемого параметра оптимальных значений критерия задач параметрического регулирования стохастических динамических систем. Доказательства этих теорем аналогичны приведенным выше.

Теорема 2.21. Пусть при любом выполняются условия теоремы 2.13. Тогда оптимальные значения критерия задачи 2.6 являются непрерывной функцией параметра .

Исследуем теперь условия непрерывной зависимости оптимальных значений критерия задач вариационного исчисления по выбору законов параметрического регулирования от неуправляемых параметров.

Теорема 2.22. Пусть при любом выполняются условия теоремы 2.14. Тогда для выбранного значения номера закона j оптимальные значения критерия задачи 2.7 являются непрерывной функцией параметра .

Следствие 2.23. При выполнении условий теоремы 2.22 для всех оптимальные значения критерия задачи 2.7 являются непрерывными функциями параметра .