Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 6 )

Задается критерий оптимальности, подлежащий максимизации, для данной задачи имеет вид

                                               (2.56)

Здесь – известные функции, – математическое ожидание.

Имеются фазовые ограничения на систему:

                                       (2.57)

где – заданное множество.

В рассматриваемых далее задачах сохраняются определенные ранее ограничения на управление:

       ,                                (2.58)

где – заданное множество.

Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы.

Задача 2.6. При известном векторе неуправляемых параметров найти закон параметрического регулирования , удовлетворяющий условию (2.58), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (2.54), (2.55) удовлетворяло условию (2.57) и доставляло максимум функционалу (2.56).

Определим множество допустимых управлений для исследуемой системы в виде совокупности таких законов регулирования , удовлетворяющих ограничению (2.58), для которых математическое ожидание соответствующего решения стохастической системы удовлетворяет включению (2.57).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.13. Пусть в задаче 2.6 при для любого случайные величины являются абсолютно непрерывными и обладают нулевыми математическими ожиданиями, множества , – замкнуты и ограничены для всех , функция удовлетворяет условию Липшица, а функции – непрерывны по Липшицу. Функции (для и ) и по модулю не превосходят некоторых линейных относительно |x| функций. Тогда, если множество допустимых управлений не пусто, то задача 2.6 разрешима.

Доказательство. Согласно теореме Вейерштрасса непрерывная функция на непустом замкнутом ограниченном множестве достигает своего максимума. Таким образом, достаточно показать, что определенная с помощью (2.56) функция многих переменных непрерывна, а множество – замкнуто и ограничено. Его непустота входит в состав условий теоремы.

Покажем, что существуют математические ожидания величин, входящих в фазовое ограничение (2.57). Действительно, согласно уравнению (2.54), имеем

.

Второе слагаемое в правой части этого равенства имеет смысл в силу условий теоремы, а первое вычисляется по формуле

если последний интеграл абсолютно сходится (здесь через обозначена плотность распределения вероятностей случайной величины ). Последний факт действительно имеет место в силу ограничений на рост функции и наличия математического ожидания величины для любого (этот факт проверяется с помощью метода математической индукции).

Существование математического ожидания в правой части равенства (2.56) следует из ограничений на рост функции и существования математического ожидания величины . Пусть имеет место сходимость векторов , . Из уравнения (2.54) следует равенство