Теория параметрического регулирования макроэкономических систем и ее приложения Часть 2. Математические основы теории параметрического регулирования , , КазНТУ им. (стр. 8 )

Задача 2.7. При известном векторе неуправляемых параметров для каждого из r законов регулирования найти такой вектор настраиваемых коэффициентов , чтобы соответствующее ему решение задачи (2.54), (2.55) с законом регулирования , определяемого по формуле (2.59), удовлетворяло условиям (2.60), (2.61) и доставляло максимум функционалу (2.62) с последующим выбором наилучшего из найденных оптимальных законов регулирования, т. е. такого, которому соответствует наибольшее значения критерия оптимальности.

Получим теперь достаточные условия существования решения задачи 2.7.

Обозначим через решение системы (2.54), (2.55) для выбранного j-го закона параметрического регулирования (2.59), его настраиваемого коэффициента и параметра :

               (2.63)

                                               (2.64)

Для рассматриваемой задачи определим множество допустимых значений настраиваемых коэффициентов как множество, состоящее из таких значений удовлетворяющих условию (2.60), для которых соответствующее решение задачи (2.63), (2.64) удовлетворяет включениям

       ,                        (2.65)

       .                                        (2.66)

Задачу 2.7 будем называть нетривиальной, если соответствующее ей множество не пусто и содержит некоторое открытое множество для каждого .

Теорема 2.14. Пусть в Задаче 2.7 , множества , , компактны, функции , , удовлетворяют условию Липшица. Эти функции удовлетворяют также следующим ограничениям на рост: функции , не превосходят линейных относительно функций равномерно по . Случайная величина является абсолютно непрерывной и имеет нулевое математическое ожидание. Тогда в случае непустоты множеств Задача 2.7 имеет решение.

Доказательство. Достаточно установить, что все функции (2.62) непрерывны, а все множества замкнуты и ограничены, где . Существование всех используемых ниже математических ожиданий доказывается так же, как и при доказательстве теоремы 2.13.

Учитывая аддитивность математического ожидания, найдем значения

откуда следует неравенство для

                       

.                        

Из соотношений (2.63), (2.64) следует, что

, ,

где есть константа Липшица функции . Обозначив через максимальную из констант Липшица функции , получим неравенство